Cyclic homology, Selberg's principle and pseudo-coefficient
Soit \(G\) un groupe réductif connexe sur un corps local non-archimédien de centre compact, soit \(G'\) l'ensemble des éléments réguliers semisimples de \(G\) et soit \( \gamma \in G'\). Le centralisateur de \(\gamma\) dans \(G\) est un tore maximal \(T\) de \(G\). Si \( S^\infty (G)\) est l'algèbre topologique des fonctions rapidement décroissantes qui sont uniformément localement constantes, alors l'espace \(R_b(G')\) des fonctions bornées sur \(G'\) invariantes par conjugaison et localement constantes opère par multiplication sur \(S^\infty (G) \). L'homologie de Hochschild \(HH_i (R_b (G')S^\infty (G))\) est appelée l'homologie localisée de \(S^\infty (G)\). L'auteur établit la convergence des intégrales orbitales supérieures sur les fonctions rapidement décroissantes et localement constantes. On montre que l'intégrale orbitale généralisée convenablement normalisée définit un ``transfert'' \[ HH_i \bigl( R_b (G') S^\infty (G) \bigr) \to H H_i \bigl( S^\infty (T) \bigr) \] qui permet de ramener certaines questions d'homologie au cas commutatif. En se ramenant au cas des tores on montre alors que le noyau d'une certaine application \[ B : HH_0 \bigl( S^\infty (G) \bigr) \to HH_1 \bigl( S^\infty (G) \bigr) \] est contenu dans l'ensemble des éléments dont les intégrales orbitales sur les éléments réguliers non compacts de \(G\) sont nulles. Ça conduit au principe de Selberg abstrait pour \(S^\infty (G)\). En fin l'auteur discute l'existence des pseudo-coefficients abstraits c'est-à-dire des coefficients d'une certaine représentation de \(G\) ayant les mêmes intégrales orbitales que des fonctions à support compact sur \(G\). Cet article consistant utilise des questions et techniques d'homologie, de la théorie des représentations, de K-théorie, etc. L'auteur affirme qu'il s'agit d'une généralisation de certains resultats de P. Blanc et J. L. Brylinski (en cours d'apparition) obtenus pour l'algèbre de convolution des fonctions complexes localement constantes à support compact sur \(G\).
scientific article; zbMATH DE number 554033
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