Semilinear perturbation of resolvents and semigroups
Soit \(B(X)\) [resp. \(B_ b(X)\)] l'espace des fonctions mesurables (resp. mesurables et bornées) sur un espace mesuré \(X\). Si l'on se donne une résolvante linéaire sous-markovienne \((V_ \alpha)_{\alpha>0}\) sur \(X\) et une fonction \(\varphi\in B^ +(X\times \mathbb{R})\) telle que \(r\to r\varphi(x,r)\) soit croissante et localement lipschitzienne, uniformément par rapport à \(x\), il existe une et une seule résolvante non linéaire \(({}^ \varphi V_ \alpha)_{\alpha>0}\) telle que \(V_ \alpha f= {}^ \varphi V_ \alpha f+V_ \alpha [^ \varphi V_ \alpha f.\varphi (.,{}^ \varphi V_ \alpha f)]\) \(\forall f\in B_ b(X)\): chaque \({}^ \varphi V_ \alpha\) est un opérateur croissant et \(|{}^ \varphi V_ \alpha f-{}^ \varphi V_ \alpha g|\leq V_ \alpha (| f-g|)\) \(\forall f,g\in B_ b(X)\). Si l'on remplace la résolvante \((V_ \alpha)_{\alpha>0}\) par un semi- groupe linéaire \((P_ t)_{t>0}\) relativement borné, il existe un unique semi-groupe non linéaire \(({}^ \varphi P_ t)_{t>0}\) tel que \(P_ t f= {}^ \varphi P_ t f+\int_ 0^ t P_{t-s} [^ \varphi P_ s f.\varphi(., {}^ \varphi P_ s f)]ds\): chaque \(P_ t\) est un opérateur croissant et il existe une constante \(c>0\) telle \(| {}^ \varphi P_ t f- {}^ \varphi P_ t g|\leq c P_ t(| f-g|)\) \(\forall f,g\in B_ b(X)\) et \(t>0\).
scientific article; zbMATH DE number 554332