Transcendency of local conjugacies in complex dynamics and transcendency of their values
type: Item
instance of: scholarly article
title: Transcendency of local conjugacies in complex dynamics and transcendency of their values
zbMATH Open document ID: 0808.11045
DOI: 10.1007/BF02567862
published in: Manuscripta Mathematica
publication date: 1995-03-09T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/155904
review text: Soient \(p\) et \(q\in \mathbb{C}[z]\) des polynômes de même degré \(d\geq 2\). On sait (Böttcher) qu'il existe exactement \(d-1\) fonctions \(f\) analytiques au voisinage de l'infini, telles que \(f(z)/z\) a une limite finie (dans \(\mathbb{C}\)) à l'infini, et vérifiant \(f(p(z)= q(f(z))\) pour tout \(z\) de module suffisamment grand. Les auteurs décrivent complétement les fonctions \(f\) de Böttcher qui sont algébriques: si \(f\) n'est pas un polynôme de degré 1, alors les polynômes \(p\) et \(q\) sont linéairement conjugués au monôme \(z^ d\) ou à \(\pm T_ d\), où \(T_ d\) est le polynôme de Chebyshev (on dit que \(p\) est linéairement conjugué à \(P\) s'il existe \(\varphi\in \mathbb{C} [z]\) de degré 1 tel que \(\varphi\circ p=P\circ \varphi\)), et on sait alors calculer \(f\). La preuve repose sur l'étude des singularités des solutions algébriques \(f\) de l'équation fonctionnelle \(f(p(z))= Q(z,f(z))\), oú \(Q\) est rationnelle. Les auteurs obtiennent alors des résultats sur la transcendance de \(f(\alpha)\), pour \(\alpha\) algébrique, en appliquant aux fonctions \(f\) de Böttcher qui sont transcendantes les résultats de \textit{P.-G. Becker} [J. Reine Angew. Math. 440, 111-128 (1993; Zbl 0770.11037)] obtenus en généralisant la méthode de Mahler. Ils en déduisent la transcendance de \(\Phi(\alpha)\) pour \(\alpha\) algébrique, où \(\Phi\) est l'application conforme (de A. Douady et J. Hubbard) de l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot sur l'extérieur du disque unité. Ils résolvent aussi une question de transcendance de S. W. Golomb relative à une suite récurrente.
Mathematics Subject Classification ID: 11J91
Mathematics Subject Classification ID: 30D05
Mathematics Subject Classification ID: 37B99
zbMATH DE Number: 554388
zbMATH Keywords: Mahler's method
zbMATH Keywords: transcendence
zbMATH Keywords: Böttcher functions
zbMATH Keywords: algebraic functions
author: P.-G. Becker-Landeck
author: Walter Bergweiler
reviewed by: François Gramain
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4402005
cites work: Q4002072
cites work: Transcendence of the values of functions satisfying generalized Mahler type functional equations.
cites work: Q3941647
cites work: A function-theoretic approach to the study of nonlinear recurring sequences
cites work: On Certain Nonlinear Recurring Sequences
cites work: Valeurs algébriques de fonctions analytiques
cites work: On the algebraic independence of holomorphic solutions of certain functional equations and their values
cites work: A class of hypertranscendental functions
cites work: From geometry to Euler identities
cites work: Algebraic function solutions of a certain class of functional equations
cites work: Rational iteration: complex analytic dynamical systems
OpenAlex ID: W2010319492
description: scientific article; zbMATH DE number 554388