Transcendency of local conjugacies in complex dynamics and transcendency of their values
Soient \(p\) et \(q\in \mathbb{C}[z]\) des polynômes de même degré \(d\geq 2\). On sait (Böttcher) qu'il existe exactement \(d-1\) fonctions \(f\) analytiques au voisinage de l'infini, telles que \(f(z)/z\) a une limite finie (dans \(\mathbb{C}\)) à l'infini, et vérifiant \(f(p(z)= q(f(z))\) pour tout \(z\) de module suffisamment grand. Les auteurs décrivent complétement les fonctions \(f\) de Böttcher qui sont algébriques: si \(f\) n'est pas un polynôme de degré 1, alors les polynômes \(p\) et \(q\) sont linéairement conjugués au monôme \(z^ d\) ou à \(\pm T_ d\), où \(T_ d\) est le polynôme de Chebyshev (on dit que \(p\) est linéairement conjugué à \(P\) s'il existe \(\varphi\in \mathbb{C} [z]\) de degré 1 tel que \(\varphi\circ p=P\circ \varphi\)), et on sait alors calculer \(f\). La preuve repose sur l'étude des singularités des solutions algébriques \(f\) de l'équation fonctionnelle \(f(p(z))= Q(z,f(z))\), oú \(Q\) est rationnelle. Les auteurs obtiennent alors des résultats sur la transcendance de \(f(\alpha)\), pour \(\alpha\) algébrique, en appliquant aux fonctions \(f\) de Böttcher qui sont transcendantes les résultats de \textit{P.-G. Becker} [J. Reine Angew. Math. 440, 111-128 (1993; Zbl 0770.11037)] obtenus en généralisant la méthode de Mahler. Ils en déduisent la transcendance de \(\Phi(\alpha)\) pour \(\alpha\) algébrique, où \(\Phi\) est l'application conforme (de A. Douady et J. Hubbard) de l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot sur l'extérieur du disque unité. Ils résolvent aussi une question de transcendance de S. W. Golomb relative à une suite récurrente.
scientific article; zbMATH DE number 554388