\(p\)-rational fields, \(p\)-regular fields and restricted ramification
Ce texte est la rédaction actualisée de deux exposés donnés au [Sémin. Théorie Nombres Bordeaux 1987--1988, Exp. No. 10 (1988; Zbl 0748.11052)]. Il réunit dans une synthèse originale les résultats sur les corps \(p\)-réguliers obtenus par le premier auteur en collaboration avec \textit{G. Gras} [Math. Z. 202, 343--365 (1989; Zbl 0704.11040)] et ceux sur les corps \(p\)-rationnels établis par le second avec \textit{A. Movahhedi} [Prog. Math. 81, 155--200 (1990; Zbl 0703.11059)]. La version préliminaire, publiée dans les Actes du Séminaire 87/88, s'est révélée inexploitable du fait de l'accumulation malheureuse d'erreurs typographiques. Fixons une fois pour toutes un nombre premier \(p\). Pour chaque corps de nombres \(K\) (de degré fini sur \(\mathbb{Q})\), désignons par \(Pl_K\) l'ensemble des places de \(K\), et par \(Pl_K(p)\) le sous-ensemble des places qui divisent \(p\). Choisissons enfin un ensemble fini \(S=S_K\) de places finies de \(K\), disjoint de \(Pl_K(p)\); notons \(M_S\) la pro-\(p\)-extension \(S\)-modérément ramifiée \(\infty\)-décomposée maximale de \(K\) (i.e. la composée des \(p\)-extensions galoisiennes de \(K\) qui sont non ramifiées en dehors des places de \(S\) et de celles qui divisent \(p\), et complètement décomposées aux places à l'infini), puis \({\mathcal G}_S=\tmathrm{Gal}(M_S/K)\) son groupe de Galois. La théorie de la \(S\)-ramification (ou ramification restreinte) a pour objet essentiel l'étude du groupe de Galois \({\mathcal G}_S\) dont la structure reflète les propriétés arithmétiques du corps \(K\) par rapport au nombre premier \(p\). Ainsi, la structure du groupe abélianisé \({\mathcal G}_S^{ab}= {\mathcal G}_S/{\mathcal G}_S'\) est décrite par la théorie du corps de classe qui donne l'isomorphisme \[ {\mathcal G}_S^{ab} \simeq \mathbb{Z}_p^\rho \oplus {\mathcal T}_S. \] óu \(\rho\) est égal à \(1+c\) \((c\): nombre de places complexes de \(K)\) sous la conjecture de Leopoldt, et \({\mathcal T}_S\) est un \(p\)-groupe fini dont les propriétés sont intimement reliées à celles des fonctions \(L\) \(p\)-adiques (lorsqu'elles sont définies) ainsi qu'à celles de divers noyaux de la \(K\)-théorie. Dans cet article, nous nous proposons d'étudier une classe de corps de nombres, appelés \(p\)-réguliers, ou \(p\)-rationnels, pour lesquels on peut donner une description complète de \({\mathcal G}_S\) lorsque l'ensemble \(S\) est \(p\)-primitif au sens de Gras. Une conséquence particulièrement intéressante de cette description est la propagation de la \(p\)-régularité dans les \(p\)-extensions primitivement ramifiées, ce qui permet d'établir par des méthodes purement algébriques la validité des conjectures de Leopoldt et de Gross pour une classe infinie de corps qui vérifient des conditions arithmétiques dures (mais de vérification facile) et sont essentiellement non abéliens, donc inaccessibles (pour l'instant) aux méthodes transcendantes.
scientific article; zbMATH DE number 556383
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