\(p\)-rational fields, \(p\)-regular fields and restricted ramification
type: Item
instance of: scholarly article
title: \(p\)-rational fields, \(p\)-regular fields and restricted ramification
zbMATH Open document ID: 0957.11046
author: Jean-François Jaulent
author: Thong Nguyen Quang Do
published in: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
publication date: 2001-04-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/93587
review text: Ce texte est la rédaction actualisée de deux exposés donnés au [Sémin. Théorie Nombres Bordeaux 1987--1988, Exp. No. 10 (1988; Zbl 0748.11052)]. Il réunit dans une synthèse originale les résultats sur les corps \(p\)-réguliers obtenus par le premier auteur en collaboration avec \textit{G. Gras} [Math. Z. 202, 343--365 (1989; Zbl 0704.11040)] et ceux sur les corps \(p\)-rationnels établis par le second avec \textit{A. Movahhedi} [Prog. Math. 81, 155--200 (1990; Zbl 0703.11059)]. La version préliminaire, publiée dans les Actes du Séminaire 87/88, s'est révélée inexploitable du fait de l'accumulation malheureuse d'erreurs typographiques. Fixons une fois pour toutes un nombre premier \(p\). Pour chaque corps de nombres \(K\) (de degré fini sur \(\mathbb{Q})\), désignons par \(Pl_K\) l'ensemble des places de \(K\), et par \(Pl_K(p)\) le sous-ensemble des places qui divisent \(p\). Choisissons enfin un ensemble fini \(S=S_K\) de places finies de \(K\), disjoint de \(Pl_K(p)\); notons \(M_S\) la pro-\(p\)-extension \(S\)-modérément ramifiée \(\infty\)-décomposée maximale de \(K\) (i.e. la composée des \(p\)-extensions galoisiennes de \(K\) qui sont non ramifiées en dehors des places de \(S\) et de celles qui divisent \(p\), et complètement décomposées aux places à l'infini), puis \({\mathcal G}_S=\tmathrm{Gal}(M_S/K)\) son groupe de Galois. La théorie de la \(S\)-ramification (ou ramification restreinte) a pour objet essentiel l'étude du groupe de Galois \({\mathcal G}_S\) dont la structure reflète les propriétés arithmétiques du corps \(K\) par rapport au nombre premier \(p\). Ainsi, la structure du groupe abélianisé \({\mathcal G}_S^{ab}= {\mathcal G}_S/{\mathcal G}_S'\) est décrite par la théorie du corps de classe qui donne l'isomorphisme \[ {\mathcal G}_S^{ab} \simeq \mathbb{Z}_p^\rho \oplus {\mathcal T}_S. \] óu \(\rho\) est égal à \(1+c\) \((c\): nombre de places complexes de \(K)\) sous la conjecture de Leopoldt, et \({\mathcal T}_S\) est un \(p\)-groupe fini dont …
Mathematics Subject Classification ID: 11R32
Mathematics Subject Classification ID: 11R23
Mathematics Subject Classification ID: 11R37
zbMATH DE Number: 556383
zbMATH Keywords: Leopoldt conjecture
zbMATH Keywords: tamely unramified extensions
zbMATH Keywords: nonabelian class field theory
zbMATH Keywords: Hilbert symbols
zbMATH Keywords: explicit reciprocity law
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2331031825
cites work: A subgroup theorem for free products of pro-finite groups
cites work: Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d'un corps de nombres.
cites work: Logarthme p-adique et groupes de Galois.
cites work: Remarks on \(K_ 2\) of number fields
cites work: On regular number fields
cites work: Q3760627
cites work: Q3735801
cites work: Q5619167
cites work: On the Leopoldt conjecture on the p-adic regulators
cites work: Sur les p -extensions des corps p -rationnels
cites work: Q3481807
cites work: Leopoldt's conjecture and Reiner's theorem
cites work: Q3937499
cites work: On \(\mathbb{Z}_ p\)-torsion of some Galois modules
cites work: Lois de réciprocité primitives. (Primitive reciprocity laws)
DOI: 10.5802/JTNB.98
description: scientific article; zbMATH DE number 556383