Weighted limit theorem for the Riemann zeta-function
Der Verf. überträgt einen Satz über die schwache Konvergenz eines durch \(\zeta(s)\) definierten Wahrscheinlichkeitsmaßes [vgl. \textit{A. Laurinčikas}, Probab. Theory Math. Stat. 2, 59-69 (1990; Zbl 0733.11030)] auf ein Maß \(\mu_{T, w, \sigma}\), das auf der Menge der Borelschen Mengen von \(\mathbb{C}\) definiert ist. Dabei ist \(w\) eine auf \([T_ 0,\infty)\) mit \(T_ 0>0\) positive und monoton fallende Gewichtsfunktion mit \(U(T,w) : = \int^ T_{T_ 0} w(t) dt \to \infty\) \((T \to \infty)\). Für \(\sigma>{1 \over 2}\) zeigt der Verf. die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes \(\mu_{w,\sigma}\), so daß \(\mu_{T,w,\sigma}\) schwach gegen \(\mu_{w,\sigma}\) für \(T \to \infty\) konvergiert. Der Beweis beruht auf der für \(u,v \in J\) bei beliebigem endlichen Intervall \(J\) gleichmäßigen Konvergenz der charakteristischen Funktionen \[ {1 \over U(T,w)} \int^ T_{T_ 0} w(t) \exp \bigl( iu \text{Re} p_ n(t) + iv \text{Im} p_ n(t) \bigr) dt \quad \text{für} \quad T \to \infty. \] Dabei ist \(p_ n (t)\) ein verallgemeinertes trigonometrisches Polynom der Ordnung \(n\).
scientific article; zbMATH DE number 578656