Lie bialgebroids and Poisson groupoids
type: Item
instance of: scholarly article
title: Lie bialgebroids and Poisson groupoids
zbMATH Open document ID: 0844.22005
DOI: 10.1215/S0012-7094-94-07318-3
author: Ping Xu
author: Kirill Charles Howard Mackenzie
published in: Duke Mathematical Journal
publication date: 1995-01-16T00:00:00Z
review text: Les groupoïdes de Poisson sont aux groupoïdes ce que les groupes de Poisson sont aux groupes. La notion de groupe de Poisson est due à Drinfeld, celle de groupoïde de Poisson à Weinstein. Si \((G, \Lambda)\) est un groupe de Poisson, l'objet infinitésimal associé est une bigèbre de Lie qui se présente comme la donnée sur l'algèbre de Lie \({\mathcal G}\) de \(G\) d'une structure de Lie Poisson ``compatible''. Il revient au même de dire que \({\mathcal G}^*\), dual de \({\mathcal G}\), qui est canoniquement une variété de Lie Poisson est munie d'une structure d'algèbre de Lie compatible. La dualité entre \({\mathcal G}\) et \({\mathcal G}^*\) relie structure d'algèbre de Lie sur l'une et structure de Lie Poisson sur l'autre. Weinstein avait observé que si \((G \Rightarrow G_0, \Lambda)\) est un groupoïde de Poisson, AG son algébroïde de Lie, \(A^*G\) le fibré dual, \(A^*G\) est munie d'une structure d'algébroide de Lie provenant de ce que \(G_0\) est coïsotrope dans \(G\). Comme il y a équivalence de catégorie entre la catégorie des algébroïdes de Lie et la catégorie des variétés de Lie Poisson [le rapporteur et \textit{D. Sondaz}, Variétés de Poisson -- Algébroïdes de Lie, Publ. Dept. Math. Lyon 1-B, 1-68 (1988)] on se trouve pour les groupoïdes dans une situation analogue à celle des groupes sauf qu'a priori la condition de compatibilité est plus difficile à établir. Pour ceci, les auteurs commencent par décrire un crochet de Schouten pour les sections d'un algébroïde de Lie, ce qui leur permet de définir abstraitement la notion de bialgébroïde de Lie: \((A \to P,\{\;\},a)\) est un bialgébroïde de Lie si le fibré dual \(A^*\) est également un algébroïde de Lie et si il existe une condition de compatibilité. La dissymétrie de la définition impose de prouver la dualité: si \((A, A^*)\) est une bialgébroïde de Lie \((A^*, A)\) en est un (Th. 3.10). L'exemple des bialgébroïdes triangulaires est donné. Le reste de l'article a pour but de montrer que si \((G, \Lambda)\) …
Mathematics Subject Classification ID: 22A22
Mathematics Subject Classification ID: 58H05
Mathematics Subject Classification ID: 17B66
Mathematics Subject Classification ID: 53D17
zbMATH DE Number: 572067
zbMATH Keywords: Lie bialgebroid
zbMATH Keywords: Poisson groupoid
zbMATH Keywords: tangent groupoid
zbMATH Keywords: cotangent groupoid
reviewed by: Pierre Dazord
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 572067