Polygon series and Napoleon theorems
type: Item
instance of: scholarly article
title: Polygon series and Napoleon theorems
zbMATH Open document ID: 0798.51024
DOI: 10.1007/BF03186497
author: Wolfgang Schuster
published in: Mathematische Semesterberichte
publication date: 1994-07-03T00:00:00Z
review text: Ein Napoleon zugeschriebener Satz besagt: ``Errichtet man auf den Seiten eines beliebigen Dreiecks gleichseitige Dreiecke, dann bilden deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck''. Allgemeiner errichte man nun auf den Seiten eines gegebenen Polygons ähnliche Dreiecke und verbinde deren Spitzen (= neu hinzugekommene Ecken) zu einem neuen Polygon. Jede solche ``Standardkonstruktion'' kann mittels einer komplexen Zahl \(c\) \((\neq 0\), \(\neq 1)\) als Transformation (Operator) \(T_ c\) im Raum der Polygone analytisch beschrieben werden. Durch wiederholte Anwendung von Standardkonstruktionen (also mittels Operatoren \(T+ T_{c_ 1} T_{c_ 2}\) usw.) kann man Polygonfolgen erzeugen, die asymptotisch gegen ein symmetrisches Polygon konvergieren oder bei denen -- was die hier zu untersuchenden (verallgemeinerten) ``Napoleonsätze'' kennzeichnet -- bereits nach endlich vielen Schritten ein symmetrisches (evtl. sogar reguläres) Polygon entsteht. Die hier angewandte analytische Methode stützt sich wesentlich auf die Spektraldarstellung der Operatoren \(T_ c,T,\dots\) im Polygonraum. Beispiel eines Napoleonsatzes: Gegeben sei ein Dreieck \(ABC\) und ein Punkt \(P\) in seinem Inneren; um \(P\) drehe man \(B\) um \(-120^ \circ\) nach \(A'\) sowie \(C\) um \(+120^ \circ\) nach \(A''\); analog (zyklische Vertauschung!) erhält man \(B'\), \(B''\) sowie \(C'\), \(C''\); dann gilt: die Schwerpunkte der Dreiecke \(AA' A''\), \(BB'B''\), \(CC'C''\) bilden ein gleichseitiges Dreieck.
Mathematics Subject Classification ID: 51N20
Mathematics Subject Classification ID: 51M20
zbMATH DE Number: 575606
zbMATH Keywords: theorem of Napoleon
zbMATH Keywords: polygon
zbMATH Keywords: symmetry
zbMATH Keywords: regular
zbMATH Keywords: polygon series
zbMATH Keywords: theorem of Neumann
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5848645
cites work: Perpendicular Polygons
cites work: Some Remarks on Polygons†
cites work: The Finite Fourier Series and Elementary Geometry
description: scientific article; zbMATH DE number 575606