Polygon series and Napoleon theorems
Ein Napoleon zugeschriebener Satz besagt: ``Errichtet man auf den Seiten eines beliebigen Dreiecks gleichseitige Dreiecke, dann bilden deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck''. Allgemeiner errichte man nun auf den Seiten eines gegebenen Polygons ähnliche Dreiecke und verbinde deren Spitzen (= neu hinzugekommene Ecken) zu einem neuen Polygon. Jede solche ``Standardkonstruktion'' kann mittels einer komplexen Zahl \(c\) \((\neq 0\), \(\neq 1)\) als Transformation (Operator) \(T_ c\) im Raum der Polygone analytisch beschrieben werden. Durch wiederholte Anwendung von Standardkonstruktionen (also mittels Operatoren \(T+ T_{c_ 1} T_{c_ 2}\) usw.) kann man Polygonfolgen erzeugen, die asymptotisch gegen ein symmetrisches Polygon konvergieren oder bei denen -- was die hier zu untersuchenden (verallgemeinerten) ``Napoleonsätze'' kennzeichnet -- bereits nach endlich vielen Schritten ein symmetrisches (evtl. sogar reguläres) Polygon entsteht. Die hier angewandte analytische Methode stützt sich wesentlich auf die Spektraldarstellung der Operatoren \(T_ c,T,\dots\) im Polygonraum. Beispiel eines Napoleonsatzes: Gegeben sei ein Dreieck \(ABC\) und ein Punkt \(P\) in seinem Inneren; um \(P\) drehe man \(B\) um \(-120^ \circ\) nach \(A'\) sowie \(C\) um \(+120^ \circ\) nach \(A''\); analog (zyklische Vertauschung!) erhält man \(B'\), \(B''\) sowie \(C'\), \(C''\); dann gilt: die Schwerpunkte der Dreiecke \(AA' A''\), \(BB'B''\), \(CC'C''\) bilden ein gleichseitiges Dreieck.
scientific article; zbMATH DE number 575606