Strong approximation property for Baer orderings on \(*\)-fields
Es sei \(D\) ein nicht notwendig kommutativer Körper mit Zentrum \(F\), mit einer Involution \(*\) und mit \([D:F]<\infty\). Eine Teilmenge \(P\) der Menge \(S(D^ \times, *)\) der symmetrischen Elemente heißt Baer-Ordnung, wenn \(P+P\subset P\), \(1\in P\), \(\alpha P\alpha^*\subset P\) für \(\alpha\in D^ \times\) und \(P\cup(-P)= S(D^ \times, *)\) gilt. Sie heißt eine schwache \(*\)-Ordnung, wenn außerdem \(aP=P\) für alle \(a\in F\cap P\) erfüllt ist. \(Y_ D^*\) sei der Raum aller Baer- Ordnungen und \(X^*_ D\) der Raum aller schwachen \(*\)-Ordnungen. \(X^*_ D\) besitzt die starke Approximationseigenschaft, wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen \(A\), \(B\) ein Element \(d\in S(D^ \times, *)\) gibt mit \(d\in P\) für alle \(P\in A\) und mit \(-d\in P\) für alle \(P\in B\). Hauptergebnis der Arbeit ist der Satz, daß \(X^*_ D\) genau dann die starke Approximationseigenschaft besitzt, wenn \(X^*_ D= Y^*_ D\) gilt. Darüber hinaus werden noch weitere äquivalente Eigenschaften einbezogen. Im Rahmen der umfangreichen Vorbereitungen werden auch die Begriffe der Baerschen formal reellen \(*\)- Körper und der Baerschen Präordnungen eingeführt, und es wird bewiesen, daß ein \(*\)-Körper genau dann eine Baer-Ordnung besitzt, wenn er Baersch formal reell ist.
scientific article; zbMATH DE number 589924