Divided powers and Hochschild homology of complete intersections. (With an Appendix by Reinhold Hübl: The cyclic homology of hypersurfaces with isolated singularities)
Es wird gezeigt, daß auf der Hochschild-Homologie \(H_ \bullet(R/k)\) einer kommutativen Algebra \(R/k\) ein funktorielles System dividierter Potenzen existiert. Daher kann man die Methode von Tate anwenden, Zyklen durch Adjunktion von Variablen zu töten, um in manchen Fällen eine explizite Beschreibung der Hochschild-Homologie zu gewinnen [\textit{J. Tate}, Ill. J. Math. 1, 14-27 (1957; Zbl 0079.055)]. Ist \(k\) ein noetherscher Ring und \(R/k\) eine flache Algebra der Form \(R=P/(f_ 1,\dots,f_ r)\) mit einer Polynomalgebra \(P=k [X_ 1,\dots,X_ n]\) und einer \(P\)-regulären Folge \(\{f_ 1,\dots,f_ r\}\), so erweist sich \(H_ \bullet (R/k)\) als die Homologie des Komplexes (in der Notation von Tate) \((R \bigotimes_ P \Omega^ \bullet_{P/k}) \langle T_ 1,\dots,T_ r \rangle\), \(\delta T_ i=df_ i\), wobei \(R \bigotimes_ P \Omega^ \bullet_{P/k}\) als Komplex mit trivialer Derivation zu betrachten ist, \(T_ 1,\dots,T_ r\) Variable vom Grad 2 sind und \(df_ i\) das Bild des Differentials von \(f_ i\) in \(R \bigotimes_ P \Omega^ 1_{P/k}\) bezeichnet. Für algebraische Funktionenkörper \(L/k\) erhält man, daß \(H_ \bullet (L/k)=\Omega^ \bullet_{L/k}\), falls Char \(k=0\), und \(H_ \bullet (L/k)=\Omega^ \bullet_{L/k} \langle T_ 1,\dots,T_ a \rangle\) mit Variablen \(T_ i\) vom Grad 2, wobei \(a\) die Differenz des \(p\)-Grads und des Transzendenzgrades von \(L/k\) ist, falls Char \(k=:p>0\). Für Hyperflächenalgebren \(R=k[X_ 1,\dots,X_ n]/(f)\) ergibt sich eine Beschreibung von \(H_ \bullet (R/k)\) durch die Koszul-Kohomologie \(H^ \bullet (f_{x_ 1}, \dots,f_{x_ n};R)\), wobei \(f_{x_ i}\) das Bild von \({\partial f \over \partial X_ i}\) in \(R\) bezeichnet. Ferner kann man für vollständige Durchschnitte \((R=P/(f_ 1, \dots,f_ r)\) wie oben) ein Glattheitskriterium herleiten: \(R/k\) ist genau dann glatt, wenn \(H_ \rho (R/k)=0\) für große \(\rho\). Im Fall, daß \(k\) ein Körper der Charakteristik 0 ist, wurde dieses Kriterium von \textit{J. Majadas} und \textit{A. G. Rodicio} [Math. Ann. 289, No. 1, 85-87 (1991; Zbl 0697.14035)] mit anderen Methoden gezeigt. Für eine weitere Algebra \(S/R\) wird die Hochschild-Homologie \(H_ \bullet (S/k)\) als Algebra über \(H_ \bullet (R/k)\) studiert. In einem Anhang verwendet \textit{R. Hübl} bekannte Tatsachen über zyklische Homologie, ihren Zusammenhang mit der Hochschild-Homologie [cf. \textit{D. Burghelea} and \textit{M. Vigué-Poirrier} in Algebraic topology, rational homotopy, Proc. Conf., Louvain-la-Neuve 1986, Lect. Notes Math. 1318, 51-72 (1988; Zbl 0666.13007)] und Aussagen der Arbeit, um zu einer detaillierten Beschreibung der zyklischen Homologie isolierter Hyperflächensingularitäten zu gelangen.
cyclic homology of hypersurfaces with isolated singularities
scientific article; zbMATH DE number 590002