Divided powers and Hochschild homology of complete intersections. (With an Appendix by Reinhold Hübl: The cyclic homology of hypersurfaces with isolated singularities)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Divided powers and Hochschild homology of complete intersections. (With an Appendix by Reinhold Hübl: The cyclic homology of hypersurfaces with isolated singularities)
zbMATH Open document ID: 0793.13006
DOI: 10.1007/BF01459772
author: Siegfried Brüderle
author: E. Kunz
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1994-08-21T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/165198
review text: Es wird gezeigt, daß auf der Hochschild-Homologie \(H_ \bullet(R/k)\) einer kommutativen Algebra \(R/k\) ein funktorielles System dividierter Potenzen existiert. Daher kann man die Methode von Tate anwenden, Zyklen durch Adjunktion von Variablen zu töten, um in manchen Fällen eine explizite Beschreibung der Hochschild-Homologie zu gewinnen [\textit{J. Tate}, Ill. J. Math. 1, 14-27 (1957; Zbl 0079.055)]. Ist \(k\) ein noetherscher Ring und \(R/k\) eine flache Algebra der Form \(R=P/(f_ 1,\dots,f_ r)\) mit einer Polynomalgebra \(P=k [X_ 1,\dots,X_ n]\) und einer \(P\)-regulären Folge \(\{f_ 1,\dots,f_ r\}\), so erweist sich \(H_ \bullet (R/k)\) als die Homologie des Komplexes (in der Notation von Tate) \((R \bigotimes_ P \Omega^ \bullet_{P/k}) \langle T_ 1,\dots,T_ r \rangle\), \(\delta T_ i=df_ i\), wobei \(R \bigotimes_ P \Omega^ \bullet_{P/k}\) als Komplex mit trivialer Derivation zu betrachten ist, \(T_ 1,\dots,T_ r\) Variable vom Grad 2 sind und \(df_ i\) das Bild des Differentials von \(f_ i\) in \(R \bigotimes_ P \Omega^ 1_{P/k}\) bezeichnet. Für algebraische Funktionenkörper \(L/k\) erhält man, daß \(H_ \bullet (L/k)=\Omega^ \bullet_{L/k}\), falls Char \(k=0\), und \(H_ \bullet (L/k)=\Omega^ \bullet_{L/k} \langle T_ 1,\dots,T_ a \rangle\) mit Variablen \(T_ i\) vom Grad 2, wobei \(a\) die Differenz des \(p\)-Grads und des Transzendenzgrades von \(L/k\) ist, falls Char \(k=:p>0\). Für Hyperflächenalgebren \(R=k[X_ 1,\dots,X_ n]/(f)\) ergibt sich eine Beschreibung von \(H_ \bullet (R/k)\) durch die Koszul-Kohomologie \(H^ \bullet (f_{x_ 1}, \dots,f_{x_ n};R)\), wobei \(f_{x_ i}\) das Bild von \({\partial f \over \partial X_ i}\) in \(R\) bezeichnet. Ferner kann man für vollständige Durchschnitte \((R=P/(f_ 1, \dots,f_ r)\) wie oben) ein Glattheitskriterium herleiten: \(R/k\) ist genau dann glatt, wenn \(H_ \rho (R/k)=0\) für große \(\rho\). Im Fall, daß \(k\) ein Körper der Charakteristik 0 ist, wurde dieses Kriterium von \textit{J. Majadas} und \textit{A. G. Ro…
Mathematics Subject Classification ID: 13D03
Mathematics Subject Classification ID: 16E40
Mathematics Subject Classification ID: 14M10
Mathematics Subject Classification ID: 14J17
zbMATH DE Number: 590002
zbMATH Keywords: divided powers
zbMATH Keywords: cyclic homology of hypersurfaces with isolated singularities
zbMATH Keywords: smoothness of complete intersections
zbMATH Keywords: Hochschild homology
zbMATH Keywords: cyclic homology
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3794302
cites work: Relative algebraic K-theory and cyclic homology
cites work: Cyclic homology, derivations, and the free loopspace
cites work: Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices
cites work: Q3995485
OpenAlex ID: W2312353511
description: scientific article; zbMATH DE number 590002