On the strong law of large numbers in Banach spaces
Soit \(B\) un espace de Banach et \(B_ 1\) sa boule unité. Soit \(X\subset B_ 1\) un convexe symétrique. On dit que \(X\) vérifie la loi forte des grands nombres pour les variables aléatoires centrées (ou symétriques) si, pour toute suite de variables aléatoires indépendantes centrées (on symétriques), à valeurs dans \(X\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega,{\mathcal A},P)\), on a: \((1/n)\cdot\Bigl(\sum^ n_ 1 X_ i\Bigr)\to 0\), presque surement. Théorème. Les cinq propriétés suivantes sont équivalentes: \(1^ \circ\). \(X\) vérifie la loi forte des grands nombres pour les variables aléatoires centrées. \(2^ \circ\). \(X\) vérifie la loi forte des grands nombres pour les variables aléatoires symétriques. \(3^ \circ\). Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(t_ \varepsilon\), tel que, pour toute suite \(x_ 1,\ldots,x_{t_ \varepsilon}\) de \(X\), on a: \(\|\sum^{t_ \varepsilon}_ 1\pm x_ i\|\leq t_ \varepsilon\cdot\varepsilon\), pour un choix convenable de signes \(\pm\). \(4^ \circ\). Pour toute suite \((x_ n)\) de \(X\) on a: \((1/n)\cdot\Bigl(\sum^ n_ 1\varepsilon_ i(\omega)\cdot x_ i\Bigr)\to 0\), p.s. où \((\varepsilon_ n(\omega))\) désigne la suite de Rademacher. \(5^ \circ\). Pour toute suite \((x_ n)\) de \(X\) on a: \((1/n)\cdot\Bigl(\sum^ n_ 1\varepsilon_ i\cdot x_ i\Bigr)\to 0\), pour au moins un choix de signes \(\pm\). Ce résultat est du à \textit{B. Beauzamy} [Sémin. Maurey-Schwartz 1975-76; Espaces \(L^ p\), Appl. radonif., Géom. Espaces de Banach, Exposé No. VI--VII, 27 p. (1976; Zbl 0344.46050)]. Dans ce travail nous donnons une preuve plus ``ancienne'' car on adapte la preuve originelle de \textit{A. Beck} [Proc. Am. Math. Soc. 13, 329-334 (1962; Zbl 0108.314)] valable dans le cas où \(X=B_ 1\).
scientific article; zbMATH DE number 590073