On the strong law of large numbers in Banach spaces
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the strong law of large numbers in Banach spaces
zbMATH Open document ID: 0796.60009
DOI: 10.1007/BF01196434
author: V. Pereyra
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1994-09-20T00:00:00Z
review text: Soit \(B\) un espace de Banach et \(B_ 1\) sa boule unité. Soit \(X\subset B_ 1\) un convexe symétrique. On dit que \(X\) vérifie la loi forte des grands nombres pour les variables aléatoires centrées (ou symétriques) si, pour toute suite de variables aléatoires indépendantes centrées (on symétriques), à valeurs dans \(X\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega,{\mathcal A},P)\), on a: \((1/n)\cdot\Bigl(\sum^ n_ 1 X_ i\Bigr)\to 0\), presque surement. Théorème. Les cinq propriétés suivantes sont équivalentes: \(1^ \circ\). \(X\) vérifie la loi forte des grands nombres pour les variables aléatoires centrées. \(2^ \circ\). \(X\) vérifie la loi forte des grands nombres pour les variables aléatoires symétriques. \(3^ \circ\). Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(t_ \varepsilon\), tel que, pour toute suite \(x_ 1,\ldots,x_{t_ \varepsilon}\) de \(X\), on a: \(\|\sum^{t_ \varepsilon}_ 1\pm x_ i\|\leq t_ \varepsilon\cdot\varepsilon\), pour un choix convenable de signes \(\pm\). \(4^ \circ\). Pour toute suite \((x_ n)\) de \(X\) on a: \((1/n)\cdot\Bigl(\sum^ n_ 1\varepsilon_ i(\omega)\cdot x_ i\Bigr)\to 0\), p.s. où \((\varepsilon_ n(\omega))\) désigne la suite de Rademacher. \(5^ \circ\). Pour toute suite \((x_ n)\) de \(X\) on a: \((1/n)\cdot\Bigl(\sum^ n_ 1\varepsilon_ i\cdot x_ i\Bigr)\to 0\), pour au moins un choix de signes \(\pm\). Ce résultat est du à \textit{B. Beauzamy} [Sémin. Maurey-Schwartz 1975-76; Espaces \(L^ p\), Appl. radonif., Géom. Espaces de Banach, Exposé No. VI--VII, 27 p. (1976; Zbl 0344.46050)]. Dans ce travail nous donnons une preuve plus ``ancienne'' car on adapte la preuve originelle de \textit{A. Beck} [Proc. Am. Math. Soc. 13, 329-334 (1962; Zbl 0108.314)] valable dans le cas où \(X=B_ 1\).
Mathematics Subject Classification ID: 60B12
Mathematics Subject Classification ID: 60F15
zbMATH DE Number: 590073
zbMATH Keywords: Rademacher series
zbMATH Keywords: strong law of large numbers
zbMATH Keywords: Banach spaces
MaRDI profile type: Publication
cites work: A Convexity Condition in Banach Spaces and the Strong Law of Large Numbers
cites work: On a Convexity Condition in Normed Linear Spaces
cites work: Séries de variables aléatoires vectorielles indépendantes et propriétés géométriques des espaces de Banach
description: scientific article; zbMATH DE number 590073