General constructions of normal numbers of Korobov type
Verf. beweist zunächst Satz 1: Seien \(a\), \(b\) ganze, teilerfremde Zahlen \(>1\), seien \((\lambda_ n)\), \((\mu_ n)\) streng wachsende Folgen ganzer Zahlen mit \(a^{\lambda_ n}= O(\mu_ n)\) und sei \((A_ n)\) eine Folge ganzer Zahlen mit \(a^{\lambda_ n- \lambda_{n-1}} \nmid A_ n\) für alle großen \(n\) und \(A_ n= O(a^{\lambda_ n})\). Dann ist \(x:= \sum_{n\geq 1} A_ n a^{-\lambda_ n} b^{-\mu_ n}\) normal zur Basis \(b\), aber nicht normal zur Basis \(ab\). Der Beweis beruht wesentlich auf der Ungleichung von Erdős-Turan aus der Gleichverteilungstheorie und liefert daher Diskrepanzabschätzungen mit. Satz 1 umfaßt frühere Ergebnisse von \textit{R. G. Stoneham} [Acta Arith. 16, 239-253 (1970; Zbl 0208.058)], \textit{A. N. Korobov} [Mat. Zametki 47, 28-33 (1990; Zbl 0689.10059)], \textit{G. Wagner} [Preprint], \textit{I. Shiokawa} und Verf. [Isr. J. Math. 84, 403-416 (1993; Zbl 0789.11044)]. Des weiteren untersucht Verf. seine Reihen auf Transzendenz und beweist Satz 2: Seien die Voraussetzungen von Satz 1 erfüllt und seien \(c\) bzw. \(d\) der Limes superior bzw. inferior von \(\mu_{n+1}/ \mu_ n\); ist \(d>1\), so ist \(x\) transzendent und zusätzlich Liouville-Zahl genau bei \(c=\infty\). Im Falle \(c<\infty\) wird überdies ein Irrationalitätsmaß angegeben, das bei \(d>2\), \(c\geq (d-1)/ (d-2)\) nahezu bestmöglich ist.
scientific article; zbMATH DE number 591446