Uniform estimates for a class of evolution equations
Dans la première partie on prouve des estimations \(L^ \infty\) pour l'intégrale oscillante \(\int^ \infty_ 0 a(\lambda) \exp [-i (x\lambda + m^{-1} t \lambda^ m)]\) \(d \lambda\) où \(2 \leq m \in \mathbb{R}\), \((n,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_ +\) et l'amplitude \(a (\lambda)\) peut être oscillante (par exemple \(a (\lambda) = e^{itP(\lambda)}\) avec \(p(\lambda)\) polynôme de degré \(\leq m-1)\) ou bien du type polynôme (par exemple \(a(\lambda) = (1 + \lambda)^ k\) avec \(a \leq k \leq {m - 2 \over 2})\). Ensuite, dans la deuxième partie on applique ces estimates pour étudier la régularité ou bien pour établir des estimations globales pour les solutions du problème de Cauchy \({\partial u \over \partial t} = iP(0)\) \(u>u |_{t=0} = u_ 0\), où \(P(0)\) est un opérateur pseudo-différentiel sur \(\mathbb{R}\), à coefficients constants (dont le symbole \(P(\xi)\) est réel), généralisant les opérateurs de Schrödinger et d'Airy. On conclit cette partie par un théorème d'existence et d'unicité pour une classe de solutions du problème \({\partial u \over \partial t} = iP(0)u + V(x)u\), \(u |_{t=0} = u_ 0\) avec \(V \in L^ n (\mathbb{R})\) réelle. Finalement, dans le dernière partie on explique comment obtenir un théorème d'existence et d'unicité pour le problème semilinéaire obtenu en ajoutant à l'équation ci-dessus le terme non-linéaire \(| u |^{p-1} u\), \(p \geq 1\).
scientific article; zbMATH DE number 599766