Uniform estimates for a class of evolution equations
type: Item
instance of: scholarly article
title: Uniform estimates for a class of evolution equations
zbMATH Open document ID: 0813.35143
author: Matania Ben-Artzi
author: François Treves
published in: Journal of Functional Analysis
publication date: 1995-05-29T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
review text: Dans la première partie on prouve des estimations \(L^ \infty\) pour l'intégrale oscillante \(\int^ \infty_ 0 a(\lambda) \exp [-i (x\lambda + m^{-1} t \lambda^ m)]\) \(d \lambda\) où \(2 \leq m \in \mathbb{R}\), \((n,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_ +\) et l'amplitude \(a (\lambda)\) peut être oscillante (par exemple \(a (\lambda) = e^{itP(\lambda)}\) avec \(p(\lambda)\) polynôme de degré \(\leq m-1)\) ou bien du type polynôme (par exemple \(a(\lambda) = (1 + \lambda)^ k\) avec \(a \leq k \leq {m - 2 \over 2})\). Ensuite, dans la deuxième partie on applique ces estimates pour étudier la régularité ou bien pour établir des estimations globales pour les solutions du problème de Cauchy \({\partial u \over \partial t} = iP(0)\) \(u>u |_{t=0} = u_ 0\), où \(P(0)\) est un opérateur pseudo-différentiel sur \(\mathbb{R}\), à coefficients constants (dont le symbole \(P(\xi)\) est réel), généralisant les opérateurs de Schrödinger et d'Airy. On conclit cette partie par un théorème d'existence et d'unicité pour une classe de solutions du problème \({\partial u \over \partial t} = iP(0)u + V(x)u\), \(u |_{t=0} = u_ 0\) avec \(V \in L^ n (\mathbb{R})\) réelle. Finalement, dans le dernière partie on explique comment obtenir un théorème d'existence et d'unicité pour le problème semilinéaire obtenu en ajoutant à l'équation ci-dessus le terme non-linéaire \(| u |^{p-1} u\), \(p \geq 1\).
Mathematics Subject Classification ID: 35S10
Mathematics Subject Classification ID: 47G30
zbMATH DE Number: 599766
zbMATH Keywords: Schrödinger operator
zbMATH Keywords: d'Airy operator
zbMATH Keywords: Cauchy problem
zbMATH Keywords: regularity
zbMATH Keywords: estimates
reviewed by: Viorel Iftimie
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2159202815
DOI: 10.1006/JFAN.1994.1033
description: scientific article; zbMATH DE number 599766