Equivalence of quasi-regular representations of two and three-step nilpotent Lie groups
Seien \(\Gamma_1\) und \(\Gamma_2\) diskrete kokompakte Untergruppen einer nilpotenten einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe \(M\) und seien \(\rho_1\) und \(\rho_2\) die zugehörigen quasi-regulären Darstellungen von \(M\) in \(L^2 (\Gamma_1 \setminus M)\) bzw. \(L^2(\Gamma_2 \setminus M)\). Unter welchen Bedingungen sind \(\rho_1\) und \(\rho_2\) unitär äquivalent? Hinreichend für die unitäre Äquivalenz von \(\rho_1\) und \(\rho_2\) ist nach \textit{C. S. Gordon} [Contemp. Math. 51, 63-80 (1986; Zbl 0591.53042)], \textit{C. S. Gordon} und \textit{He Ouyang} [Continuous families of quasiregular representations of nilpotent Lie groups, preprint, 1992], sowie \textit{C. S. Gordon} und \textit{E. N. Wilson} [Mich. Math. J. 33, 253-271 (1986; Zbl 0599.53038)] die Existenz eines Automorphismus \(\Phi : M \to M\) mit \(\Phi(\Gamma_1) = \Gamma_2\), welcher die Eigenschaft hat, daß \(\gamma\) und \(\Phi (\gamma)\) für jedes \(\gamma \in \Gamma_1\) konjugiert sind. In der vorliegenden Arbeit wird dieses Resultat für den Fall einer zweistufig- nilpotenten Gruppe \(M\) verschärft und ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die unitäre Äquivalenz von \(\rho_1\) und \(\rho_2\) angegeben. Dabei wird Gebrauch gemacht von der in [\textit{L. F. Richardson}, Am. J. Math. 93, 173-190 (1971; Zbl 0265.43012)] und [\textit{H. Howe}, Am. J. Math. 93, 163-172 (1971)] angegebenen Zerlegung einer quasiregulären Darstellung von \(M\) in irreduzible Darstellungen. Die Voraussetzung der zweistufigen Nilpotenz ist für das Resultat unerläßlich. Im dreistufig-nilpotenten Fall könnten nämlich \(\rho_1\) und \(\rho_2\) unitär äquivalent sein, ohne daß \(\Gamma_1\) und \(\Gamma_2\) überhaupt isomorph sind.
scientific article; zbMATH DE number 599826