On flocks of infinite quadratic cones
Die Autoren benutzen die Koordinatisierung für verallgemeinerte Vierecke, um Beispiele unendlicher verallgemeinerter Vierecke zu gewinnen und um den Thasschen Satz [\textit{J. A. Thas}, Eur. J. Comb. 8, 441-452 (1987; Zbl 0646.51019)], daß ein Flock eines Kegels (in einem endlichen projektiven Raum) zu einer Klasse elationsbegabter verallgemeinerter Vierecke, sowie zu einer Klasse von Translationsebenen äquivalent ist, auf den unendlichen Fall zu verallgemeinern. Sie beweisen, daß ein verallgemeinertes Viereck genau dann von einem Flock (d.h. von einer Partition der Punkte eines um seine Spitze verminderten Kegels in irreduzible ebene Kegelschnitte) herrührt, wenn alle Ableitungen des Flocks wohldefiniert sind. Zur Existenz von Flocks beweisen die Autoren den folgenden Satz: Es sei \(K\) ein Körper, und es seien \(x\), \(y\), \(z\) Abbildungen von \(K\) in sich, so daß \(x_ k\), \(y_ k\) bzw. \(z_ k\) das Bild des Elementes \(k\) unter \(x\), \(y\) bzw. \(z\) bezeichne und 0 Fixelement unter jeder dieser Abbildungen ist. Im dreidimensionalen projektiven Raum \(PG(3,k)\) sei \(F\) die Menge der Ebenen mit den Gleichungen \(x_ k X_ 0 + z_ k X_ 1 + y_ k X_ 2 + X_ 3 = 0\). Die Schnitte dieser Ebenen mit dem durch die Gleichung \(X_ 1 X_ 1 = X^ 2_ 2\) beschriebenen Kegel definieren genau dann einen Flock, wenn \(k \mapsto x_ k\) und \(k \mapsto x_ k r^ 2 + y_ k r + z_ k\) für alle \(r \in K\) Bijektionen sind. Ist \(K\) endlich und von Charakteristik \(\neq 2\), so ist dies äquivalent zu der Tatsache, daß für alle Paare \((l,k)\) verschiedener Elemente von \(K\) das Element \((y_ k - y_ l)^ 2 - 4(x_ k - x_ l) (z_ k - z_ l)\) kein Quadrat ist. Ist hingegen die Charakteristik des endlichen Körpers \(K\) gleich 2, so ist dies äquivalent damit, daß für \((l,k)\); \(l \neq k\) aus \(K\) man \(y_ k \neq y_ l\) hat und das Element \((x_ k + x_ l) (z_ k + z_ l) (y_ k + y_ l)^{-1}\) nicht die Gleichung \(X^ 2 + X + k = 0\) löst. Definieren die Abbildungen \(x\), \(y\), \(z\) einen Flock, so kann man mit ihrer Hilfe einen Ternärkörper definieren, der ein Linksquasikörper ist. In dem Abschnitt, in welchem die Verfasser Beispiele unendlicher verallgemeinerter Vierecke konstruieren (so etwa solche, die sich aus Split-Cayley-Sechsecken ergeben und die endlichen solchen von \textit{W. M. Kantor} [J. Comb. Theory, Ser. A 29, 212-219 (1980; Zbl 0465.51007)] angegebenen Beispiele verallgemeinern), stellen sie für glatte Flocks über dem Körper der reellen Zahlen leicht nachprüfbare Bedingungen auf, unter welchen jede Ableitung wohldefiniert ist.
scientific article; zbMATH DE number 617011