On flocks of infinite quadratic cones
type: Item
instance of: scholarly article
title: On flocks of infinite quadratic cones
zbMATH Open document ID: 0811.51004
published in: Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin
publication date: 1994-08-10T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/224577
review text: Die Autoren benutzen die Koordinatisierung für verallgemeinerte Vierecke, um Beispiele unendlicher verallgemeinerter Vierecke zu gewinnen und um den Thasschen Satz [\textit{J. A. Thas}, Eur. J. Comb. 8, 441-452 (1987; Zbl 0646.51019)], daß ein Flock eines Kegels (in einem endlichen projektiven Raum) zu einer Klasse elationsbegabter verallgemeinerter Vierecke, sowie zu einer Klasse von Translationsebenen äquivalent ist, auf den unendlichen Fall zu verallgemeinern. Sie beweisen, daß ein verallgemeinertes Viereck genau dann von einem Flock (d.h. von einer Partition der Punkte eines um seine Spitze verminderten Kegels in irreduzible ebene Kegelschnitte) herrührt, wenn alle Ableitungen des Flocks wohldefiniert sind. Zur Existenz von Flocks beweisen die Autoren den folgenden Satz: Es sei \(K\) ein Körper, und es seien \(x\), \(y\), \(z\) Abbildungen von \(K\) in sich, so daß \(x_ k\), \(y_ k\) bzw. \(z_ k\) das Bild des Elementes \(k\) unter \(x\), \(y\) bzw. \(z\) bezeichne und 0 Fixelement unter jeder dieser Abbildungen ist. Im dreidimensionalen projektiven Raum \(PG(3,k)\) sei \(F\) die Menge der Ebenen mit den Gleichungen \(x_ k X_ 0 + z_ k X_ 1 + y_ k X_ 2 + X_ 3 = 0\). Die Schnitte dieser Ebenen mit dem durch die Gleichung \(X_ 1 X_ 1 = X^ 2_ 2\) beschriebenen Kegel definieren genau dann einen Flock, wenn \(k \mapsto x_ k\) und \(k \mapsto x_ k r^ 2 + y_ k r + z_ k\) für alle \(r \in K\) Bijektionen sind. Ist \(K\) endlich und von Charakteristik \(\neq 2\), so ist dies äquivalent zu der Tatsache, daß für alle Paare \((l,k)\) verschiedener Elemente von \(K\) das Element \((y_ k - y_ l)^ 2 - 4(x_ k - x_ l) (z_ k - z_ l)\) kein Quadrat ist. Ist hingegen die Charakteristik des endlichen Körpers \(K\) gleich 2, so ist dies äquivalent damit, daß für \((l,k)\); \(l \neq k\) aus \(K\) man \(y_ k \neq y_ l\) hat und das Element \((x_ k + x_ l) (z_ k + z_ l) (y_ k + y_ l)^{-1}\) nicht die Gleichung \(X^ 2 + X + k = 0\) löst. Definieren die Abbildungen \(x\), \(y\), \(z\) eine…
Mathematics Subject Classification ID: 51E12
Mathematics Subject Classification ID: 51M30
zbMATH DE Number: 617011
zbMATH Keywords: flocks
zbMATH Keywords: infinite quadratic cones
author: F. De Clerck
author: Hendrik Van Maldeghem
reviewed by: Karl Strambach
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 617011