Moufang polygons. I: Root data
type: Item
instance of: scholarly article
title: Moufang polygons. I: Root data
zbMATH Open document ID: 0811.51006
published in: Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin
publication date: 1994-08-10T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/233501
review text: Es sei \(\Phi\) ein Wurzelsystem im euklidischen Raum \(V\) [s. z.B. \textit{N. Bourbaki}: Groupes et algèbres de Lie, Chap. IV--VI (1968; Zbl 0186.320), S. 142]. Ist \(v \neq 0\) ein Vektor aus \(V\) und bezeichnet \(\mathbb{R}_ +\) die Halbgerade der positiven Zahlen, so heißt die Menge \(\mathbb{R}_ + v\) ein Strahl. Ein System \((U_ a)_{a \in \Phi}\) von Untergruppen einer Gruppe \(G\), die mittels \(\Phi\) indiziert sind, heißt ein Wurzeldatum des Typs \(\Phi\), wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (0) Es ist \(U_ a \neq \{1\}\) für alle \(a \in \Phi\) und \(U_{2a} \neq U_ a\), wenn \(2a \in \Phi\). (1) Sind \(a, b \in \Phi\), so daß \(b \notin -\mathbb{R}_ + a\), so liegt die Kommutatorgruppe \([U_ a, U_ b]\) in der von allen \(U_ c\) für \(c = pa + qb \in \Phi\) der erzeugten Gruppe, wobei \(p\), \(q\) natürliche positive Zahlen sind. (2) Zu \(a \in \Phi\) und \(u \in U_ a \setminus\{1\}\) gibt es ein Element \(m\) in \(U_{-a} uU_ a\), welches für alle \(b \in \Phi\) die Untergruppe \(U_ b\) auf die Untergruppen \(U_{\tau_ a (b)}\) konjugiert, wobei \(\tau_ a\) die Spiegelung von \(V\) an der zum Vektor \(a\) senkrechten Hyperebene ist. (3) Für jede Wahl einer Basis \(\Psi\) von \(\Phi\) und ein beliebiges Element \(a \in \Psi\) enthält die von allen \(U_ b\) erzeugte Gruppe \(U_ +\), wobei \(b\) eine Linearkombination der Elemente aus \(\Psi\) mit positiven Koeffizienten ist, wie die Untergruppe \(U_{-a}\). Ein Wurzelstrahlsystem \(\widetilde {\Phi}\) ist eine endliche Menge \(M\) von Strahlen, so daß \(V\) von \(M\) linear erzeugt wird und \(M\) unter denjenigen Spiegelungen von \(V\) invariant ist, die zu diesen Strahlen assoziiert sind. Ein Wurzeldatum des Typs \(\widetilde {\Phi}\) in einer Gruppe \(G\) ist ein System von Untergruppen \(U_ \alpha\) von \(G\), die mit Elementen aus \(\widetilde {\Phi}\) indiziert sind, so daß die Axiome (2.1) bis (2.4) des Autors aus [``Groupes semi-simples isotropes'', Centre Belge Rech. Math., Colloque Théor. Gr…
Mathematics Subject Classification ID: 51E12
Mathematics Subject Classification ID: 20E42
zbMATH DE Number: 617015
zbMATH Keywords: generalized Moufang \(n\)-gons
reviewed by: Karl Strambach
MaRDI profile type: Publication
author: Jacques Tits
description: scientific article; zbMATH DE number 617015