Moufang polygons. I: Root data
Es sei \(\Phi\) ein Wurzelsystem im euklidischen Raum \(V\) [s. z.B. \textit{N. Bourbaki}: Groupes et algèbres de Lie, Chap. IV--VI (1968; Zbl 0186.320), S. 142]. Ist \(v \neq 0\) ein Vektor aus \(V\) und bezeichnet \(\mathbb{R}_ +\) die Halbgerade der positiven Zahlen, so heißt die Menge \(\mathbb{R}_ + v\) ein Strahl. Ein System \((U_ a)_{a \in \Phi}\) von Untergruppen einer Gruppe \(G\), die mittels \(\Phi\) indiziert sind, heißt ein Wurzeldatum des Typs \(\Phi\), wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (0) Es ist \(U_ a \neq \{1\}\) für alle \(a \in \Phi\) und \(U_{2a} \neq U_ a\), wenn \(2a \in \Phi\). (1) Sind \(a, b \in \Phi\), so daß \(b \notin -\mathbb{R}_ + a\), so liegt die Kommutatorgruppe \([U_ a, U_ b]\) in der von allen \(U_ c\) für \(c = pa + qb \in \Phi\) der erzeugten Gruppe, wobei \(p\), \(q\) natürliche positive Zahlen sind. (2) Zu \(a \in \Phi\) und \(u \in U_ a \setminus\{1\}\) gibt es ein Element \(m\) in \(U_{-a} uU_ a\), welches für alle \(b \in \Phi\) die Untergruppe \(U_ b\) auf die Untergruppen \(U_{\tau_ a (b)}\) konjugiert, wobei \(\tau_ a\) die Spiegelung von \(V\) an der zum Vektor \(a\) senkrechten Hyperebene ist. (3) Für jede Wahl einer Basis \(\Psi\) von \(\Phi\) und ein beliebiges Element \(a \in \Psi\) enthält die von allen \(U_ b\) erzeugte Gruppe \(U_ +\), wobei \(b\) eine Linearkombination der Elemente aus \(\Psi\) mit positiven Koeffizienten ist, wie die Untergruppe \(U_{-a}\). Ein Wurzelstrahlsystem \(\widetilde {\Phi}\) ist eine endliche Menge \(M\) von Strahlen, so daß \(V\) von \(M\) linear erzeugt wird und \(M\) unter denjenigen Spiegelungen von \(V\) invariant ist, die zu diesen Strahlen assoziiert sind. Ein Wurzeldatum des Typs \(\widetilde {\Phi}\) in einer Gruppe \(G\) ist ein System von Untergruppen \(U_ \alpha\) von \(G\), die mit Elementen aus \(\widetilde {\Phi}\) indiziert sind, so daß die Axiome (2.1) bis (2.4) des Autors aus [``Groupes semi-simples isotropes'', Centre Belge Rech. Math., Colloque Théor. Groupes algébr., Bruxelles 1962, 137-147 (1962; Zbl 0154.026)] erfüllt sind. Diesen Axiomen genügen insbesondere diejenigen Untergruppen der Automorphismengruppe eines verallgemeinerten Moufang \(n\)-Ecks, die \(n\) Elemente eines \(2n\)- Zykels, sowie die zu diesen Elementen benachbarten fixieren. Sei \(\Phi\) ein Wurzelsystem und \(\widetilde {\Phi}\) das Wurzelstrahlsystem, welches aus allen Strahlen besteht, die Wurzeln aus \(\Phi\) enthalten (wobei in einem Strahl es natürlich höchstens zwei Wurzeln aus \(\Phi\) gibt). Ist \((U_ a)_{a \in \Phi}\) ein Wurzeldatum vom Typ \(\Phi\), so ist \((\widetilde {U_ \alpha})_{\alpha \in \widetilde{\Phi}}\), wobei \(\widetilde {U_ \alpha}\) die Vereinigung der \(U_ \alpha\) mit \(a \leq \alpha\) ist, ein Wurzeldatum des Typs \(\widetilde {\Phi}\). Entsteht ein Wurzeldatum \((\widetilde{U_ \alpha})_{\alpha \in \widetilde{\Phi}}\) auf diese Weise, so nennt es der Verfasser filtriert durch das Wurzeldatum \((U_ a)_{a \in \Phi}\) vom Typ \(\Phi\). Es sei \(\widetilde {A_ 1}\) bzw. \(\widetilde{I_ 2}(n)\) der Typ des Wurzelstrahlsystems der Dimension 1 bzw. das zur Diedergruppe der Ordnung \(2n\) assoziierte Wurzelstrahlsystem. Der Verfasser zeigt: Jedes Wurzelstrahldatum, dessen Typ keinen direkten Faktor des Typs \(\widetilde {A_ 1}\) oder \(\widetilde {I_ 2}(8)\) besitzt, hat eine Filtrierung durch ein (gewöhnliches) Wurzeldatum. Die Arbeit ist die erste von einer Serie, deren Ziel es ist, sich zu vergewissern, daß die dicken verallgemeinerten Moufang-\(n\)-Ecke genau wie die Gebäude des Ranges \(\geq 3\) durch algebraische Objekte bestimmt sind.
scientific article; zbMATH DE number 617015