Gelfond's theorem for Drinfeld modules
type: Item
instance of: scholarly article
title: Gelfond's theorem for Drinfeld modules
zbMATH Open document ID: 0834.11027
author: W. Dale Brownawell
author: Robert Tubbs
author: P.-G. Becker-Landeck
published in: Michigan Mathematical Journal
publication date: 1996-03-31T00:00:00Z
review text: Les auteurs établissent un analogue sur les modules de Drinfeld du célèbre théorème de Gelfond. Soient \(e(z)\) la fonction exponentielle d'un module de Drinfeld \(\Lambda\) de rang \(d\), défini sur une extension finie \(k\) de \(\mathbb{F}_q [T]\) et \(\beta\in \overline {k}\) (clôture algébrique de \(\mathbb{F}_q [T])\), \(u\in \overline {k}_\infty\) (clôture algébrique de \(\mathbb{F}_q ((1/ T))\)). Supposons \(\beta\) est de degré \(b\geq 2+ (d/r)\) sur le corps \(K\) des multiplications de \(\Lambda\) avec \(r= [K:k ]\), alors, sous une hypothèse parasite (\(\forall \gamma\in K(\beta \setminus \{0\}\), \(u\gamma\) n'est pas une période de \(e(z)\)), au moins deux des nombres \(e(u), \dots, e(\beta^{d -1} u)\) sont algébriquement indépendants sur \(\overline {k}\). Le cas \(b=3\) et \(r=d\) est l'analogue du théorème de Gelfond, malheureusement entaché de l'hypothèse parasite. Notons que cette dernière hypothèse est levée par un récent travail du critique. Plus intéressant est l'application que fait \textit{L. Denis} [Acta Arith. 69, No. 1, 75-89 (1995; Zbl 0823.11032)]\ du théorème ci-dessus. Utilisant la dérivation par rapport à \(T\) il en déduit que les analogues des nombres \(\pi\) et \(e^\pi\) (resp. \(e\) et \(\pi\)) sont algébriquement indépendants, des énoncés dont les pendants classiques font encore réver.
Mathematics Subject Classification ID: 11G09
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 14L05
zbMATH DE Number: 682537
zbMATH Keywords: Drinfeld modules
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: Gelfond theorem
Wikidata QID: Q101086328
reviewed by: Patrice Philippon
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1307/mmj/1029004990
OpenAlex ID: W2059575043
DOI: 10.1307/MMJ/1029004990
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description: scientific article; zbMATH DE number 682537