On Dirichlet series satisfying Riemann's functional equation
type: Item
instance of: scholarly article
title: On Dirichlet series satisfying Riemann's functional equation
zbMATH Open document ID: 0816.11032
DOI: 10.1007/BF01232248
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1995-01-25T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/144219
review text: Aus den klassischen Untersuchungen von Hamburger, Hecke, Siegel und Bochner ist es wohlbekannt, daß die Riemannsche Zetafunktion durch ihre Funktionalgleichung und einige Analytizitätsbedingungen sowie die Entwickelbarkeit in eine Dirichletreihe bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. Es sei nämlich \(\varphi (s)\) meromorph und genüge den folgenden Bedingungen: 1. Mit einem passenden Polynom \(P(s)\) ist \(P(s) \varphi(s)\) eine ganze Funktion endlichen Geschlechts. 2. \(R(s)= \pi^{-s} \Gamma(s) \varphi(s)\) erfüllt die Funktionalgleichung \(R(s)= R(1/2- s)\). 3. \(\varphi(s)\) ist in eine irgendwo konvergente Dirichletreihe entwickelbar. Fordert man zusätzlich, daß auch \(\varphi (s/2)\) in eine irgendwo konvergente Dirichletreihe entwickelbar ist oder daß \(\varphi(s)\) holomorph bis auf höchstens einen Pol in \( s=1/2\) ist, so ist \(\varphi(s)\) bis auf einen konstanten Faktor gleich \(\zeta (s)\). Verf. zeigt nun, daß man ohne diese Zusatzbedingung unendlich viele linear unabhängige Funktionen \(\varphi(s)\) erhält, die die Bedingungen 1, 2, 3 erfüllen. Der Beweis benutzt die Korrespondenz zwischen Dirichletreihen mit Funktionalgleichung und Modulformen.
Mathematics Subject Classification ID: 11F66
Mathematics Subject Classification ID: 11M06
Mathematics Subject Classification ID: 30B50
zbMATH DE Number: 703853
zbMATH Keywords: Dirichlet series
zbMATH Keywords: Riemann's functional equation
zbMATH Keywords: Riemann zeta-function
author: Marvin Knopp
reviewed by: Karl-Bernhard Gundlach
MaRDI profile type: Publication
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OpenAlex ID: W1979050837
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description: scientific article; zbMATH DE number 703853