Matrix coefficients and a Weyl correspondence for nilpotent Lie groups
type: Item
instance of: scholarly article
title: Matrix coefficients and a Weyl correspondence for nilpotent Lie groups
zbMATH Open document ID: 0848.22016
DOI: 10.1007/BF01231524
author: Niels Vigand Pedersen
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1996-10-21T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/144227
review text: Sei \(G\) eine zusammenhängende Lie-Gruppe, sei \({\mathfrak g}\) die Lie-Algebra von \(G\) und sei \(Z({\mathfrak g})\) das Zentrum der universellen einhüllenden Algebra \(U({\mathfrak g})\) von \({\mathfrak g}\). Ist \(\pi\) eine unitäre Darstellung von \(G\) in einem Hilbert-Raum \({\mathcal H}\) und ist \(A\) ein Spuroperator in \({\mathcal H}\), so heißt die Funktion \[ f^A_\pi (s):= \text{Spur} (\pi (s) A), \qquad s\in G, \] ein Matrix-Koeffizient von \(\pi\). Sei \({\mathcal R} (G, \pi)\) die Menge aller Matrix-Koeffizienten von \(\pi\). Ist \(G\) kompakt und \(\pi\) irreduzibel, so hat man die folgenden klassischen Aussagen: \[ \begin{aligned} &\int_G f^A_\pi (s) \overline {f^B_\pi (s)} ds= {1\over {\dim {\mathcal H}}} \text{ Spur} (AB^*); \tag{i}\\ &\int_G f^A_\pi (s^{-1}) \pi (s) ds= {1\over {\dim {\mathcal H}}} A; \tag{ii}\\ &{\mathcal R} (G, \pi)= \{f\in C^\infty (G)\mid u * f= \chi_{\overline {\pi}} (u)f \text{ für alle } u\in Z({\mathfrak g})\}. \tag{iii} \end{aligned} \] (Dabei ist \(\chi_{\overline {\pi}}: Z({\mathfrak g})\to \mathbb{C}\) der infinitesimale Charakter von \(\overline {\pi}\).) Das Hauptanliegen der vorliegenden, sehr interessanten Arbeit besteht nun darin, Analoga der Aussagen (i)--(iii) zu beweisen für den Fall, daß \(G\) eine einfach zusammenhängende nilpotente Lie-Gruppe ist. Sei also \(\pi\) eine irreduzible Darstellung einer einfach zusammenhängenden nilpotenten Lie-Gruppe \(G\) in einem Hilbert-Raum \({\mathcal H}\). Ein beschränkter Operator \(A\) in \({\mathcal H}\) heißt glatt, wenn \(d\pi (u) A\) und \(Ad\pi (u)\) beschränkte Operatoren sind für alle \(u\in U({\mathfrak g})\) [vgl. dazu \textit{R. Howe}, Pac. J. Math. 73, 329-363 (1977; Zbl 0383.22009)]. Für glatte Operatoren \(A\) heißen die Funktionen \(f^A_\pi\) glatte Matrix-Koeffizienten von \(\pi\). Sei \({\mathcal R} (G, \pi)_\infty\) die Menge aller glatten Matrix-Koeffizienten von \(\pi\). Die Aussagen (i) and (ii) gelten jetzt für glatte Matrix-Koeffizienten, wenn …
Mathematics Subject Classification ID: 22E27
Mathematics Subject Classification ID: 43A80
Mathematics Subject Classification ID: 17B35
zbMATH DE Number: 703874
zbMATH Keywords: matrix coefficients
zbMATH Keywords: Weyl correspondence
zbMATH Keywords: nilpotent Lie groups
zbMATH Keywords: unitary representation
zbMATH Keywords: Hilbert space
zbMATH Keywords: trace operator
zbMATH Keywords: infinitesimal character
zbMATH Keywords: smooth operator
zbMATH Keywords: Schwartz functions
Wikidata QID: Q115393813
reviewed by: Rainer Felix
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 703874