Pfaffian and discriminant
type: Item
instance of: scholarly article
title: Pfaffian and discriminant
zbMATH Open document ID: 0823.11016
published in: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
publication date: 1995-11-06T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/230000
full work available at URL: jtnb6-1.html
review text: Soit \(F\) un corps de nombres, \(\Gamma\) un groupe fini. On appelle module quadratique la donnée d'un \(F[G]\)-module de type fini muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée. On considère la catégorie \({\mathcal C}\) dont les objets sont de tels modules et les morphismes les \(F[ \Gamma]\)-homomorphismes compatibles aux formes bilinéaires. Deux tels modules sont construits à partir d'une extension \(N\) de \(F\) admettant un groupe d'automorphisme isomorphe à \(\Gamma\); l'un est \(N\) muni de la forme trace, l'autre est le \(F\) espace vectoriel (sur lequel \(\Gamma\) agit) construit sur les \(F\) plongements de \(N\) dans une clôture algébrique \(\overline{F}\), la forme bilinéaire étant celle qui admet ces plongements comme base orthonormée. Il s'agit de comparer ces modules quadratiques. À une telle catégorie sont associés des groupes \({\mathcal K}_ 0\), \({\mathcal K}_ 1\) que l'on relie par le foncteur d'oubli à ceux de la catégorie des \(\overline {F} [ \Gamma]\)-modules. Ceci conduit à une suite exacte à la \textit{A. Heller} [Topology 3, 389-408 (1965; Zbl 0161.015)]: \[ {\mathcal K}_ 1 ({\mathcal C})\to {\mathcal K}_ 1 (\overline{F} [\Gamma]) @>\delta >> \overline {\mathcal K}_{0,\text{rel}} ({\mathcal C}) @>\nu>> {\mathcal K}_ 0({\mathcal C})@> \varepsilon>> {\mathcal K}_ 0 (\overline {F} [\Gamma ]). \] Un des buts poursuivis est décrire \(\overline {\mathcal K}_{0, \text{rel}} ({\mathcal C})\) et son image \(\widetilde {\mathcal K}_ 0 ({\mathcal C})\). On commence par faire cette description dans le cas algébriquement clos puis on utilise une technique de descente. Pour cela, on part de l'idée de \textit{A. Fröhlich} [J. Reine Angew. Math. 286/287, 380-440 (1976; Zbl 0385.12004)], étendue par l'auteur de l'article, consistant à décrire les groupes de \(K\)-théorie au moyen du foncteur Hom. En particulier, il y a un isomorphisme Det entre \({\mathcal K}_ 1 (\overline {F}[ \Gamma])\) et \(\Hom (R(\Gamma), \overline {F}^*)\) où \(R(\Gamma)\) e…
Mathematics Subject Classification ID: 11E70
Mathematics Subject Classification ID: 11R70
Mathematics Subject Classification ID: 11R33
Mathematics Subject Classification ID: 11E88
zbMATH DE Number: 703942
zbMATH Keywords: \(K\)-theory
zbMATH Keywords: quadratic modules
zbMATH Keywords: quadratic forms
zbMATH Keywords: Gauss sum
zbMATH Keywords: trace form
zbMATH Keywords: exact sequences
author: Jacques Queyrut
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2315803669
cites work: Lectures on topics in algebraic \(K\)-theory
cites work: Q3344268
cites work: Les Constantes des Equations Fonctionnelles des Fonctions L
cites work: Forms over semisimple algebras with involution
cites work: Arithmetic and Galois module structure for tame extensions.
cites work: Orthogonal and Symplectic Representations of Groups
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cites work: Orthogonal representations of Galois groups, Stiefel-Whitney classes and Hasse-Witt invariants.
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cites work: Localization and class groups of module categories with exactness defects
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cites work: Q3480128
cites work: Q3708857
cites work: Q4193645
cites work: Formes quadratiques, groupes orthogonaux et algèbres de Clifford
cites work: The Stark conjectures on Artin \(L\)-functions at \(s=0\). Lecture notes of a course in Orsay edited by Dominique Bernardi and Norbert Schappacher.
cites work: Graded Brauer Groups.
DOI: 10.5802/JTNB.111
description: scientific article; zbMATH DE number 703942