Moment maps and combinatorial invariants of Hamiltonian \(T^ n\)-spaces
type: Item
instance of: scholarly article
title: Moment maps and combinatorial invariants of Hamiltonian \(T^ n\)-spaces
zbMATH Open document ID: 0828.58001
published in: Progress in Mathematics
publication date: 1995-02-15T00:00:00Z
review text: Soit \(\widetilde \rho : G \times (M, \omega) \to (M, \omega)\) une action hamiltonienne d'un groupe compact \(G\) sur une variété symplectique \((M, \omega)\). Quantifier \(\widetilde \rho\) c'est associer d'une façon naturelle une représentation unitaire \(\rho\) de \(G\) dans un espace de Hilbert \({\mathcal Q} (M)\). Le but du livre est le suivant: Posant en principe que toutes les méthodes de quantification sont équivalentes, calculer les multiplicités des représentations irréductibles contenues dans \(\rho\) en termes d'invariants symplectiques associés au triple \((M, \omega,G)\) en utilisant en particulier le moment \({\mathcal J}\) de l'action de \(G\) dans \((M, \omega)\). Le livre est divisé en quatre chapitres et deux appendices ces derniers relatifs aux variétés toriques. Le premier chapitre est consacré à une présentation rapide de notions de base de la Géométrie symplectique (travaux de Kostant, Kirillov, Souriau, ce dernier un peu oublié dans la bibliographie), de l'éclatement symplectique de Gromov et du théorème de Delzant caractérisant l'action hamiltonienne d'un tore \(T^n\) sur une variété symplectique compacte \((X, \omega)\) par le polytope convexe \(\Delta\) image de \(X\) dans \(\mathbb{R}^{n*}\) par le moment. \(\Delta\) jouit de propriétés de rationalité et l'auteur s'attache surtout à la construction d'un représentant standard \(X_\Delta\) associé à \(\Delta\) à l'aide de la réduction symplectique et donne en appendice, toujours en suivant Delzant, une construction alternative à l'aide des variétés toriques qui fournit la structure kaehlerienne de \(X_\Delta\). \(X_\Delta\) servira dans la suite d'exemple et de test pour les différentes conjectures. Le chapitre II tourne autour du théorème de Duistermaat-Heckman: Soit \(\lambda_0\) une valeur régulière du moment \(J\) d'une action hamiltonienne d'un tore \(T\) sur la variété symplectique \((X, \omega)\), libre sur \(\overline {\mathcal J}^1 (\lambda_0)\). La classe \([\sigma_\lambda]\) de…
Mathematics Subject Classification ID: 58-01
Mathematics Subject Classification ID: 53C15
Mathematics Subject Classification ID: 37J99
Mathematics Subject Classification ID: 53D50
Mathematics Subject Classification ID: 37-02
Mathematics Subject Classification ID: 05A19
Mathematics Subject Classification ID: 14M25
Mathematics Subject Classification ID: 81S10
Mathematics Subject Classification ID: 22E45
zbMATH DE Number: 723325
zbMATH Keywords: quantization
zbMATH Keywords: symplectic geometry
zbMATH Keywords: toric varieties
zbMATH Keywords: representation theory
zbMATH Keywords: Hamiltonian actions
zbMATH Keywords: moment maps
zbMATH Keywords: Duistermaat-Hekmann measures
zbMATH Keywords: combinatorial invariants
zbMATH Keywords: Riemann-Roch number
zbMATH Keywords: dimension of multiplicity
author: Victor Guillemin
reviewed by: Pierre Dazord
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 723325