The binary Goldbach problem in short intervals. II
[This is a joint review for parts I and II.] Es bezeichne \(G(N) = \sum_{n + m = N} \Lambda (n) \Lambda (m)\) die gewichtete Anzahl der ``Goldbach-Darstellungen'' von \(N\) und \(N \cdot H(N)\) das heuristisch naheliegende Hauptglied in der vermuteten Asymptotik für \(G(N)\). Der Author überträgt das klassische Result von \textit{G. H. Hardy} und \textit{J. E. Littlewood} [Proc. Lond. Math. Soc., II. Ser. 22, 46-56 (1924)] auf (sehr) kurze Intervalle: Unter Annahme der großen Riemannschen Vermutung ist für jedes \(\varepsilon > 0\) und \(C > {14 \over \varepsilon}\) die Goldbach-Asymptotik \[ G(N) = N \cdot H(N) + O \bigl( N(\log N)^{-1} (\log \log N)^3 \bigr) \] für höchstens \(\ll (\log x)^{C \cdot ({1 \over 2} + \varepsilon)}\) viele gerade \(N \in (x,x + (\log x)^C]\) verletzt. Ohne unbewiesene Hypothesen gilt: \[ \left |\left \{N \in (x,x + x^\vartheta]; N \equiv 0 \text{mod} 2, \bigl |G(N) - N \cdot H(N) \bigr |> {N \over \log N} (\log \log N)^3 \right\} \right |\ll x^\vartheta (\log x)^{- C} \] für \(C > 0\) und \(\vartheta > \vartheta_0 = 0,50823 \ldots\). Dieses Resultat wurde unabhängig -- sogar für \(\vartheta > \vartheta_0 = {1 \over 3}\) -- auch von \textit{A. Perelli} und \textit{J. Pintz} [J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 47, No. 1, 41-49 (1993; Zbl 0806.11042)] gezeigt. Die Herleitung der Resultate beruht auf einer sog. expliziten Formel, in welcher der Fehlerterm \(G(N) - N \cdot H(N)\) explizit mit Hilfe nichttrivialer Nullstellen von \(L\)-Reihen dargestellt wird. Der Autor arbeitet hierbei mit einer geeigneten Modifikation der Hardy-Littlewood Methode, die im wesentlichen auf D. Wolke zurückgeht.
scientific article; zbMATH DE number 737239
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