Potential theory on infinite-dimensional Abelian groups. Transl. from the Russian by Carol Regher
type: Item
instance of: scholarly article
title: Potential theory on infinite-dimensional Abelian groups. Transl. from the Russian by Carol Regher
zbMATH Open document ID: 0869.31001
published in: De Gruyter Studies in Mathematics
publication date: 1997-02-12T00:00:00Z
review text: Après un bref rappel (Chap. 2), suivant \textit{H. Bauer} [Conf. Semin. Mat. Bari 197 (1984; Zbl 0572.31005)] des relations générales entre les théories axiomatique et probabiliste, on considère (Chap. 3) un espace topologique \(E\) et des processus de Markov \(X\) à trajectoires \(X_t\) dans \(E\), presque sûrement continues; un faisceau hyperharmonique \({\mathcal S}_X\) étant associé à chaque \(X\), on définit 2 classes étendues \({\mathcal A}\), \({\mathcal B}\) de processus \(X\) telles que: (3.1) \(X\in{\mathcal A}\Rightarrow (E,{\mathcal S}_X)\) est un \({\mathcal P}\)-espace harmonique de Brelot, où les potentiels de support ponctuel donné sont proportionnels; (3.2) \(X\in\mathcal B\Rightarrow (\dot E,\mathcal S_{\dot X})\) est un \({\mathcal P}\)-espace harmonique de Bauer si \(\dot E= E\times\mathbb{R}\) et \(\dot X=X\times Z\), \(Z_t= z-t\). L'un ou l'autre résultat implique une inégalité de Harnack remarquable par elle-même. Puis on étudie la limite projective d'une suite d'espaces harmoniques: des exemples montrent qu'en général l'espace limite ne satisfait pas tous les axiomes d'un espace harmonique; néanmoins on peut toujours le munir d'un processus de Markov permettant de bâtir une théorie du potentiel. Le Chap. 4 est consacré à la théorie du potentiel sur le groupe topologique abelien \(T=\mathbb{R}^p\times T^\infty\): \({\mathcal S}\) étant un faisceau hyperharmonique sur \(E\) et \({\mathcal H}_{\mathcal S}\) le faisceau harmonique induit, on dit que \((E,{\mathcal H}_{\mathcal S})\) est un groupe harmonique si \({\mathcal S}\) est invariant par translation. Alors: (4.1) si en outre \(1\in{\mathcal H}_{\mathcal S}\) et \((E,{\mathcal H}_{\mathcal S})\) est elliptique (en ce sens que la topologie de \(E\) admet une base formée d'ouverts résolutifs \(V\) tels que toutes les mesures harmoniques \(\mu^V_x\) aient pour support \(\partial V\)), il existe un opérateur différentiel elliptique \[ {\mathcal L}=\sum_{i,j\in\mathbb{N}} a_{ij}\partial_i\partia…
Mathematics Subject Classification ID: 31-02
Mathematics Subject Classification ID: 31B35
Mathematics Subject Classification ID: 31D05
Mathematics Subject Classification ID: 43A95
Mathematics Subject Classification ID: 31C45
zbMATH DE Number: 977529
zbMATH Keywords: hyperharmonic bundle
zbMATH Keywords: Markov process
zbMATH Keywords: harmonic elliptic group
zbMATH Keywords: harmonic space
author: A. Bendikov
reviewed by: Rose-Marie Hervé
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 977529