Potential theory on infinite-dimensional Abelian groups. Transl. from the Russian by Carol Regher
Après un bref rappel (Chap. 2), suivant \textit{H. Bauer} [Conf. Semin. Mat. Bari 197 (1984; Zbl 0572.31005)] des relations générales entre les théories axiomatique et probabiliste, on considère (Chap. 3) un espace topologique \(E\) et des processus de Markov \(X\) à trajectoires \(X_t\) dans \(E\), presque sûrement continues; un faisceau hyperharmonique \({\mathcal S}_X\) étant associé à chaque \(X\), on définit 2 classes étendues \({\mathcal A}\), \({\mathcal B}\) de processus \(X\) telles que: (3.1) \(X\in{\mathcal A}\Rightarrow (E,{\mathcal S}_X)\) est un \({\mathcal P}\)-espace harmonique de Brelot, où les potentiels de support ponctuel donné sont proportionnels; (3.2) \(X\in\mathcal B\Rightarrow (\dot E,\mathcal S_{\dot X})\) est un \({\mathcal P}\)-espace harmonique de Bauer si \(\dot E= E\times\mathbb{R}\) et \(\dot X=X\times Z\), \(Z_t= z-t\). L'un ou l'autre résultat implique une inégalité de Harnack remarquable par elle-même. Puis on étudie la limite projective d'une suite d'espaces harmoniques: des exemples montrent qu'en général l'espace limite ne satisfait pas tous les axiomes d'un espace harmonique; néanmoins on peut toujours le munir d'un processus de Markov permettant de bâtir une théorie du potentiel. Le Chap. 4 est consacré à la théorie du potentiel sur le groupe topologique abelien \(T=\mathbb{R}^p\times T^\infty\): \({\mathcal S}\) étant un faisceau hyperharmonique sur \(E\) et \({\mathcal H}_{\mathcal S}\) le faisceau harmonique induit, on dit que \((E,{\mathcal H}_{\mathcal S})\) est un groupe harmonique si \({\mathcal S}\) est invariant par translation. Alors: (4.1) si en outre \(1\in{\mathcal H}_{\mathcal S}\) et \((E,{\mathcal H}_{\mathcal S})\) est elliptique (en ce sens que la topologie de \(E\) admet une base formée d'ouverts résolutifs \(V\) tels que toutes les mesures harmoniques \(\mu^V_x\) aient pour support \(\partial V\)), il existe un opérateur différentiel elliptique \[ {\mathcal L}=\sum_{i,j\in\mathbb{N}} a_{ij}\partial_i\partial_j+ \sum_{i\in\mathbb{N}} b_i\partial_i \] (opérant sur les fonctions cylindriques) unique à un facteur constant près tel que les faisceaux \({\mathcal H}_{\mathcal S}\) et \({\mathcal H}_{\mathcal L}\) coincident; (4.2) inversement, étant donné un tel opérateur \({\mathcal L}\), les conditions \[ a_{ii}>0\;\forall i\in\mathbb{N}, \quad \sup_{i\neq\mathbb{N}} \Bigl(\sum_{j\in i}|a_{ij}|/a_{ii} \Bigr)<1\quad\text{et}\quad \sum_{i\in\mathbb{N}} \exp(-a_{ii}t)<\infty\;\forall t>0 \] suffisent pour que \((E,{\mathcal H}_{\mathcal L})\) soit un groupe harmonique elliptique vérifiant l'axiomatique de Bauer, et même celle de Brelot si en outre \[ \sum_{i\in\mathbb{N}} \frac{1}{a_{ii}}<\infty \qquad\text{et}\qquad \sum_{i\in\mathbb{N}} \Bigl(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|/ a_{ii}\Bigr)<\infty. \] Ce résultat et le précédent sont à rapprocher de ceux de \textit{J. M. Bony} [Potential theory, C.I.M.E., Stresa, 69-119 (1969; Zbl 0205.10704)] sur les ``opérateurs associés aux axiomatiques de la théorie du potentiel''. Pour un opérateur \({\mathcal L}\) obtenu en (4.1) à partir d'un faisceau \({\mathcal S}_X\) tel que \(1\in{\mathcal H}_{{\mathcal S}_X}\) et que \((E,{\mathcal H}_{{\mathcal S}_X})\) soit un groupe harmonique elliptique, le Chap. 5 étudie la dérivabilité des solutions faibles \(u\) de \({\mathcal L}u-\lambda u=f\) sur un ouvert \(V\) de \[ T^\infty: f\in W_{\text{loc}}^{k,p}(V) \Rightarrow u\in W_{\text{loc}}^{k+2,p}(V) \] mais, en général, même les solutions de l'équation homogène peuvent être discontinues; \(X\in{\mathcal B}\) [cf. (3.2)] est nécessaire et suffisant: a) pour que les solutions faibles de l'équation homogène aient des représentants \(\in{\mathcal C}^1\); b) pour la propriété suivante d'hypoellipticité: si la mesure \(\nu\) est absolument continue sur \(V\) relativement à la mesure de Haar sur \(T^\infty\), avec une densité \(\in{\mathcal C}^\infty\), il en est de même des solutions \(\mu\) de \({\mathcal L}\mu- \lambda\mu=\nu\). Le livre contient bien d'autres résultats, et se termine par un chapitre de problèmes ouverts, où figure le cas nonabelien.
scientific article; zbMATH DE number 977529