Approximation of real numbers by rationals: some metric theorems
type: Item
instance of: scholarly article
title: Approximation of real numbers by rationals: some metric theorems
zbMATH Open document ID: 0870.11043
published in: Journal of Number Theory
publication date: 1997-04-24T00:00:00Z
review text: Ist \(F_n\) die Farey-Folge \(n\)-ter Ordnung, so bezeichne \(\rho_n(x)\) den Minimalabstand zwischen \(x\in [0,1]=:I\) und den Gliedern von \(F_n\). Diese Funktion \(\rho_n(x)\) wird von Verff. in verschiedener Hinsicht untersucht. Zunächst zeigen sie die Asymptotik \[ \int_0^1 \rho_n(x)dx= 3\pi^{-2}n^{-2}\log n+O(n^{- 2}) \] bei \(n\to\infty\) und des weiteren: Ist \(x\in I\) schlecht approximierbar, d.h. ist \(q|qx-p|\) für alle \((p,q)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}\) nach unten durch eine positive Konstante beschränkt, so gibt es Konstanten \(c_1,c_2\) mit \(0<c_1\leq n^2\rho_n(x)\leq c_2\) für alle \(n\). Ein Vergleich dieser beiden Sätze zeigt, daß schlecht approximierbare Zahlen im Mittel besser durch Rationalzahlen approximierbar sind als dies im allgemeinen der Fall ist. Nach einer relativ einfachen Anwendung des Khinchinschen ``Hauptsatzes der metrischen Theorie diophantischer Approximationen'', die hier nicht im Detail zitiert werden soll, beweisen Verff. mit einigem technischem Aufwand ihr tiefstes Resultat: Bei monoton wachsendem \(f:[1,+\infty[\to \mathbb{R}_+\) gilt folgende Alternative: (i) Wenn das Integral \((*)\) \(\int_1^\infty dt/f(t)\) divergiert und wenn \(\limsup(\log f(t))/t\) kleiner als 1 ist, dann gilt für (Lebesgue-) fast alle \(x\in I\) die Ungleichung \((**)\) \(n^2\rho_n(x)\geq f(\log n)\) für unendlich viele \(n\). (ii) Konvergiert \((*)\), so gilt für fast alle \(x\in I\) die Ungleichung \((**)\) für höchstens endlich viele \(n\).
Mathematics Subject Classification ID: 11J83
Mathematics Subject Classification ID: 11K60
zbMATH DE Number: 980266
zbMATH Keywords: approximation of real numbers by rationals
zbMATH Keywords: asymptotic results
zbMATH Keywords: Farey sequence
zbMATH Keywords: minimal distance
zbMATH Keywords: badly approximable numbers
zbMATH Keywords: metric theory of Diophantine approximation
author: P. P. Kargaev
author: A. Zhigljavsky
reviewed by: Peter Bundschuh
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2080501739
DOI: 10.1006/JNTH.1996.0145
description: scientific article; zbMATH DE number 980266