Effective lower bound for the \(p\)-adic distance between powers of algebraic numbers
type: Item
instance of: scholarly article
title: Effective lower bound for the \(p\)-adic distance between powers of algebraic numbers
zbMATH Open document ID: 0870.11045
published in: Journal of Number Theory
publication date: 1997-09-11T00:00:00Z
review text: Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine \(p\)-adische Übertragung der Resultate von \textit{M. Laurent} [Acta Arith. 66, 181--199 (1994; Zbl 0801.11034)] bzw. von \textit{M. Laurent}, \textit{M. Mignotte} und \textit{Y. Nesterenko} (kurz LMN) [J. Number Theory 55, 285--321 (1995; Zbl 0843.11036)], wo untere Schranken für den gewöhnlichen Absolutbetrag ganzzahliger Linearkombinationen in zwei Logarithmen algebraischer Zahlen bewiesen wurden. Wie dort wird auch hier die Schneidersche Transzendenzmethode kombiniert mit der Laurentschen Idee der Interpolationsdeterminanten. Eine erste derartige \(p\)-adische Übertragung hatte bereits \textit{Y. Bugeaud} [Publ. IRMA, Strasbourg (1995)] vorgenommen, aber die von ihm erhaltenen unteren Abschätzungen werden nun dadurch verbessert, daß neue Hilfsmittel herangezogen werden, die der \(p\)-adischen Situation besser angepaßt sind. Während z.B. zur oberen Abschätzung der Interpolationsdeterminanten im archimedischen Fall die Anwendung des Maximumprinzips günstiger ist, zieht man im \(p\)-adischen vorteilhafter ihre Taylorentwicklungen heran, in die spezielle Werte der Schurschen Polynome eingehen, die ganzrationale Koeffizienten haben und somit eine einfache \(p\)-adische Auswertung gestatten. Auch die Nullstellenabschätzungen und die kombinatorischen Betrachtungen waren gegenüber der in LMN behandelten archimedischen Situation zu revidieren. Die zahlreichen, völlig effektiven Ergebnisse der Verff. sind zu umfangreich formuliert, als daß sie hier im einzelnen zitiert werden könnten.
Mathematics Subject Classification ID: 11J86
Mathematics Subject Classification ID: 11J61
zbMATH DE Number: 980273
zbMATH Keywords: \(p\)-adic analog for lower bounds on the absolute value of integral linear combinations of logarithms
zbMATH Keywords: Schneider transcendence method
zbMATH Keywords: interpolation determinant
zbMATH Keywords: Taylor expansions
zbMATH Keywords: special values of Schur polynomials
zbMATH Keywords: approximation of zeros
author: Yann Bugeaud
author: Michel Laurent
reviewed by: Peter Bundschuh
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: jnth.1996.0152
OpenAlex ID: W2036649879
DOI: 10.1006/JNTH.1996.0152
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description: scientific article; zbMATH DE number 980273