The Bloch space of \(M\)-harmonic functions on bounded symmetric domains
type: Item
instance of: scholarly article
title: The Bloch space of \(M\)-harmonic functions on bounded symmetric domains
zbMATH Open document ID: 0884.32024
DOI: 10.1007/BF01318234
published in: Monatshefte für Mathematik
publication date: 1998-04-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/178771
review text: Der Bergmann-Silov-Rand \(B\) eines beschränkten Gebietes \(G\subset\mathbb{C}^n\) ist im Hinblick auf holomorphe, dann pluriharmonische Funktionen ``bestimmend''. Mit Hilfe von Maßen auf \(B\) und von ``Kernen'' kann man per Integration Funktionen auf \(G\) erzeugen: so pluriharmonische und weitere Funktionen. Ist \(G\) symmetrisch, \(\Aut G\) also groß, so bestimmt die Isotropiegruppe \({\mathcal H}\subset\Aut G\) von \(O\in G\) ein eindeutiges \({\mathcal H}\)-invariantes Maß \(\sigma\) auf \(B\). Maße der Art \(f(\xi)d\sigma(\xi)\) auf \(B\) führen mit Hilfe des Poisson-Szegö-Kernes auf sog. \(M\)-harmonische Funktionen, einer möglichen Verallgemeinerung pluriharmonischer Funktionen. Es mag sinnvoll sein, diese \(M\)-harmonischen Funktionen näher zu untersuchen, z.B. in ihrem Verhalten gegen den Rand \(\partial G\) hin: Theorem A gibt die Äquivalenz von 6 (sechs) verschiedenen Normen für \(M\)-harmonische Funktionen. Theorem B gibt eine Charakterisierung von \(M\)-harmonischen Funktionen mit beschränkter Norm (eine weitere von jenen \(M\)-harmonischen Funktionen, die ``schnell verschwindendes Randverhalten'' haben) mit Hilfe von Faltungen. Theorem C sagt, daß die Räume obiger Typen von Funktionen Banachräume sind, wobei der kleinere abgeschlossen im größeren liegt. Theorem D gibt sechs äquivalente Formulierungen für ``schnelles gegen Null'' Randverhalten von \(M\)-harmonischen Funktionen. Theorem E sagt, daß man mit dem Poisson-Szegő-Kern schon durch die Maße \(f d\sigma\), \(f\)=Polynom, ``fast alle'' \(M\)-harmonischen Funktionen erzeugen kann (im Sinne von Dichtheit). Die Beweise sind sehr technisch, die Resultate nach meiner Sicht noch nicht durchschlagend. Die angestrebte Verallgemeinerung der Theorie der holomorphen Funktionen auf \(M\)-harmonische Funktionen stößt auf das Problem der hier noch nicht genügend entwickelten Techniken.
Mathematics Subject Classification ID: 32M15
Mathematics Subject Classification ID: 31C10
Mathematics Subject Classification ID: 32A25
zbMATH DE Number: 1028892
zbMATH Keywords: pluriharmonic functions
zbMATH Keywords: Bergman kernel
zbMATH Keywords: Bloch space
zbMATH Keywords: \(M\)-harmonic functions
zbMATH Keywords: bounded symmetric domains
author: Kyong T. Hahn
author: El-Hassan Youssfi
reviewed by: Karlheinz Spallek
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 1028892