The Bloch space of \(M\)-harmonic functions on bounded symmetric domains
Der Bergmann-Silov-Rand \(B\) eines beschränkten Gebietes \(G\subset\mathbb{C}^n\) ist im Hinblick auf holomorphe, dann pluriharmonische Funktionen ``bestimmend''. Mit Hilfe von Maßen auf \(B\) und von ``Kernen'' kann man per Integration Funktionen auf \(G\) erzeugen: so pluriharmonische und weitere Funktionen. Ist \(G\) symmetrisch, \(\Aut G\) also groß, so bestimmt die Isotropiegruppe \({\mathcal H}\subset\Aut G\) von \(O\in G\) ein eindeutiges \({\mathcal H}\)-invariantes Maß \(\sigma\) auf \(B\). Maße der Art \(f(\xi)d\sigma(\xi)\) auf \(B\) führen mit Hilfe des Poisson-Szegö-Kernes auf sog. \(M\)-harmonische Funktionen, einer möglichen Verallgemeinerung pluriharmonischer Funktionen. Es mag sinnvoll sein, diese \(M\)-harmonischen Funktionen näher zu untersuchen, z.B. in ihrem Verhalten gegen den Rand \(\partial G\) hin: Theorem A gibt die Äquivalenz von 6 (sechs) verschiedenen Normen für \(M\)-harmonische Funktionen. Theorem B gibt eine Charakterisierung von \(M\)-harmonischen Funktionen mit beschränkter Norm (eine weitere von jenen \(M\)-harmonischen Funktionen, die ``schnell verschwindendes Randverhalten'' haben) mit Hilfe von Faltungen. Theorem C sagt, daß die Räume obiger Typen von Funktionen Banachräume sind, wobei der kleinere abgeschlossen im größeren liegt. Theorem D gibt sechs äquivalente Formulierungen für ``schnelles gegen Null'' Randverhalten von \(M\)-harmonischen Funktionen. Theorem E sagt, daß man mit dem Poisson-Szegő-Kern schon durch die Maße \(f d\sigma\), \(f\)=Polynom, ``fast alle'' \(M\)-harmonischen Funktionen erzeugen kann (im Sinne von Dichtheit). Die Beweise sind sehr technisch, die Resultate nach meiner Sicht noch nicht durchschlagend. Die angestrebte Verallgemeinerung der Theorie der holomorphen Funktionen auf \(M\)-harmonische Funktionen stößt auf das Problem der hier noch nicht genügend entwickelten Techniken.
scientific article; zbMATH DE number 1028892
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