Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions
type: Item
instance of: scholarly article
title: Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions
zbMATH Open document ID: 0888.11030
author: Paula Tretkoff
published in: Rocky Mountain Journal of Mathematics
publication date: 1998-06-07T00:00:00Z
full work available at URL: contents.htm
review text: Die vorliegende Arbeit hat die bisher am weitesten reichende Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Th. Schneider} zum Inhalt [Math. Ann. 113, 1-13 (1936; Zbl 0014.20402)], daß nämlich die elliptische Modulfunktion \(j\) an algebraischen Stellen \(z\) genau dann algebraische Werte \(j(z)\) annimmt, wenn \(z\) imaginärquadratisch ist, d.h. wenn es sich um einen CM-Punkt handelt. Diese Aussage ist zunächst von \textit{Y. Morita} auf automorphe Funktionen zu Normeinsgruppen gewisser Quaternionenalgebren verallgemeinert worden [J. Math. Soc. Japan 24, 268-274 (1972; Zbl 0232.10025)], von \textit{R.-P. Holzapfel} auf Picardsche Modulfunktionen [Math. Nachr. 161, 7-25 (1993; Zbl 0823.14034)] und von \textit{H. Shiga} und \textit{J. Wolfart} auf automorphe Funktionen zu Modulgruppen für Familien abelscher Varietäten von PEL-Type [J. Reine Angew. Math. 463, 1-25 (1995; Zbl 0827.11043)]; an der letzteren Arbeit war \textit{P. B. Cohen} ebenfalls beteiligt [in: Number theory, Séminaire de théorie des nombres de Paris 1992-93, 81-89, Cambridge University Press, 81-89 (1995; Zbl 0827.11044)]. Die vorliegende Arbeit unterscheidet sich davon in drei Punkten: Die Autorin behandelt sämtliche Familien abelscher Varietäten, die sich über modulare Einbettungen in eine geeignete PEL-Familie einbetten lassen; somit erfaßt sie auch die von Mumford-Tate entdeckten Familien mit vorgegebenem Hodgetyp. Für diese modularen Einbettungen verwendet sie einfachere, von Satake entwickelte Techniken. Schließlich wird für den entscheidenden Transzendenzschluß, wie in allen neueren Arbeiten zum vorliegenden Thema, Wüstholz' ``analytic subgroup theorem'' verwendet, hier aber in einer Version, die bereits \textit{H. Shiga} in einer früheren Arbeit über Siegelsche Modulfunktionen eingesetzt hat [Astérisque 209, 293-305 (1992; Zbl 0862.11046)].
Mathematics Subject Classification ID: 11J91
Mathematics Subject Classification ID: 11F41
Mathematics Subject Classification ID: 11G15
Mathematics Subject Classification ID: 14K22
zbMATH DE Number: 1026398
zbMATH Keywords: Humbert surfaces
zbMATH Keywords: transcendence properties
zbMATH Keywords: automorphic functions
zbMATH Keywords: elliptic modular function
zbMATH Keywords: families of abelian varieties
zbMATH Keywords: complex multiplication points
zbMATH Keywords: PEL families
reviewed by: Jürgen Wolfart
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1981252082
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DOI: 10.1216/RMJM/1181072032
description: scientific article; zbMATH DE number 1026398