On Mahler's classification in Laurent series fields
type: Item
instance of: scholarly article
title: On Mahler's classification in Laurent series fields
zbMATH Open document ID: 0886.11040
author: Eugène Dubois
published in: Rocky Mountain Journal of Mathematics
publication date: 1998-05-04T00:00:00Z
full work available at URL: contents.htm
review text: Sei \(K((1/z))\) der Körper der formalen Laurentreihen in \(1/z\) über einem beliebigen Körper \(K\). Der Autor verallgemeinert zunächst das vom Referenten [\textit{P. Bundschuh}, J. Reine Angew. Math. 299/300, 411-432 (1978; Zbl 0367.10032)] angegebene Analogon der Mahlerschen Klassifikation der Elemente von \(K((1/z))\) vom Fall endlicher auf beliebige \(K\) (wobei der Nachweis des Nichtverschwindens eines gewissen Infimums einige Mühe macht). Sodann zerlegt er die \(U\)-Klasse in disjunkte Klassen \(U_1\) (die Liouville-Elemente), \(U_2,\dots\) wie üblich. Nachdem er den Leser kurz an \textit{E. Artins} [Math. Z. 19, 153-206, 207-246 (1924; JFM 50.0107.01)] Kettenbruchalgorithmus in \(K((1/z))\) erinnert hat, formuliert der Autor sein Hauptresultat wie folgt. Sei \(a_0\in K[z]\), seien \(A\), \(B\) Teilmengen von \(K[z]\backslash K\) mit \(\# A\geq 2\), \(a_0+ B\subset A\) und sei \(P\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \(A\). Dann gibt es überabzählbar viele in \(U_2\) gelegene Elemente \(\alpha= [a_0,a_1,a_2,\dots]\in K((1/z))\), die folgenden vier Bedingungen genügen. (i) Alle Kettenbruchelemente \(a_1,a_2,\dots\) liegen in \(A\); (ii) für jedes genügend große \(n\) ist \(\text{ord}_{z=0} a_n\) kleiner als \(n\); (iii) für jedes \(b\in B\) liegt \(\alpha+ b-1/(\alpha+ b)\) in \(U_1\); (iv) \(P(a)= \lim_{N\to\infty}(1/N)\#\{n\leq N\mid a_n=a\}\) gilt für jedes \(a\in A\). Dies Resultat war, lediglich mit einer Beweisskizze, von \textit{E. B. Burger} und \textit{E. Dubois} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 319, 421-426 (1994; Zbl 0811.11051)] angekündigt worden.
Mathematics Subject Classification ID: 11J61
Mathematics Subject Classification ID: 11J82
zbMATH DE Number: 1026399
zbMATH Keywords: Mahler's classification of elements in Laurent series fields
zbMATH Keywords: Liouville elements
zbMATH Keywords: continued fractions
reviewed by: Peter Bundschuh
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2007038535
cites work: Q4050665
cites work: On Mahler's classification of transcendental numbers
cites work: Q4143404
cites work: Q4317302
cites work: On the frequency distribution of partial quotients ofU‐numbers
cites work: Q4124903
cites work: Über die Mahlersche Klasseneinteilung der transzendenten Zahlen und die Approximation komplexer Zahlen durch algebraische Zahlen
cites work: On Mahler's U -Numbers
cites work: Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. Teil II.
cites work: Q5625271
cites work: Approximation exponents for algebraic functions in positive characteristic
cites work: Q4055730
cites work: The Thue-Siegel-Roth-Schmidt theorem for algebraic functions
cites work: Q5628200
cites work: Q3278401
cites work: On the Thue-Siegel-Roth theorem, I
DOI: 10.1216/RMJM/1181072033
description: scientific article; zbMATH DE number 1026399