On Mahler's classification in Laurent series fields
Sei \(K((1/z))\) der Körper der formalen Laurentreihen in \(1/z\) über einem beliebigen Körper \(K\). Der Autor verallgemeinert zunächst das vom Referenten [\textit{P. Bundschuh}, J. Reine Angew. Math. 299/300, 411-432 (1978; Zbl 0367.10032)] angegebene Analogon der Mahlerschen Klassifikation der Elemente von \(K((1/z))\) vom Fall endlicher auf beliebige \(K\) (wobei der Nachweis des Nichtverschwindens eines gewissen Infimums einige Mühe macht). Sodann zerlegt er die \(U\)-Klasse in disjunkte Klassen \(U_1\) (die Liouville-Elemente), \(U_2,\dots\) wie üblich. Nachdem er den Leser kurz an \textit{E. Artins} [Math. Z. 19, 153-206, 207-246 (1924; JFM 50.0107.01)] Kettenbruchalgorithmus in \(K((1/z))\) erinnert hat, formuliert der Autor sein Hauptresultat wie folgt. Sei \(a_0\in K[z]\), seien \(A\), \(B\) Teilmengen von \(K[z]\backslash K\) mit \(\# A\geq 2\), \(a_0+ B\subset A\) und sei \(P\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \(A\). Dann gibt es überabzählbar viele in \(U_2\) gelegene Elemente \(\alpha= [a_0,a_1,a_2,\dots]\in K((1/z))\), die folgenden vier Bedingungen genügen. (i) Alle Kettenbruchelemente \(a_1,a_2,\dots\) liegen in \(A\); (ii) für jedes genügend große \(n\) ist \(\text{ord}_{z=0} a_n\) kleiner als \(n\); (iii) für jedes \(b\in B\) liegt \(\alpha+ b-1/(\alpha+ b)\) in \(U_1\); (iv) \(P(a)= \lim_{N\to\infty}(1/N)\#\{n\leq N\mid a_n=a\}\) gilt für jedes \(a\in A\). Dies Resultat war, lediglich mit einer Beweisskizze, von \textit{E. B. Burger} und \textit{E. Dubois} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 319, 421-426 (1994; Zbl 0811.11051)] angekündigt worden.
Mahler's classification of elements in Laurent series fields
scientific article; zbMATH DE number 1026399
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