Dependence of logarithms on commutative algebraic groups
Eine wohlbekannte Vermutung besagt, daß über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängige Logarithmen von 0 verschiedener algebraischer Zahlen schon über \(\mathbb{Q}\) algebraisch unabhängig sein müssen. Einerseits ist bisher nicht einmal die Existenz {\textit{zweier}} algebraisch unabhängiger Logarithmen algebraischer Zahlen gesichert. Andererseits hat \textit{D. Roy} [Acta Math. 175, 49-73 (1995; Zbl 0833.11031)] gezeigt, daß obige Vermutung äquivalent ist zu einer (hier nicht kurz zu beschreibenden) Vermutung über einen exakten Ausdruck für den Rang gewisser Matrizen, deren Eingänge entweder algebraische Zahlen oder Logarithmen von solchen sind. Bei der genaueren Formulierung dieser letzteren Vermutung kommt eine spezielle lineare algebraische Gruppe in natürlicher Weise ins Spiel. Verf. geht nun den Weg, algebraische Unabhängigkeit von Logarithmen allgemein in kommutativen algebraischen Gruppen zu untersuchen in einer Weise, daß sich daraus im Fall linearer algebraischer Gruppen in Richtung auf die letztere Vermutung ergibt: Der fragliche Matrizenrang ist mindestens halb so groß wie vermutet.
scientific article; zbMATH DE number 1026411
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