Dependence of logarithms on commutative algebraic groups
type: Item
instance of: scholarly article
title: Dependence of logarithms on commutative algebraic groups
zbMATH Open document ID: 0883.11036
published in: Rocky Mountain Journal of Mathematics
publication date: 1998-03-05T00:00:00Z
full work available at URL: contents.htm
review text: Eine wohlbekannte Vermutung besagt, daß über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängige Logarithmen von 0 verschiedener algebraischer Zahlen schon über \(\mathbb{Q}\) algebraisch unabhängig sein müssen. Einerseits ist bisher nicht einmal die Existenz {\textit{zweier}} algebraisch unabhängiger Logarithmen algebraischer Zahlen gesichert. Andererseits hat \textit{D. Roy} [Acta Math. 175, 49-73 (1995; Zbl 0833.11031)] gezeigt, daß obige Vermutung äquivalent ist zu einer (hier nicht kurz zu beschreibenden) Vermutung über einen exakten Ausdruck für den Rang gewisser Matrizen, deren Eingänge entweder algebraische Zahlen oder Logarithmen von solchen sind. Bei der genaueren Formulierung dieser letzteren Vermutung kommt eine spezielle lineare algebraische Gruppe in natürlicher Weise ins Spiel. Verf. geht nun den Weg, algebraische Unabhängigkeit von Logarithmen allgemein in kommutativen algebraischen Gruppen zu untersuchen in einer Weise, daß sich daraus im Fall linearer algebraischer Gruppen in Richtung auf die letztere Vermutung ergibt: Der fragliche Matrizenrang ist mindestens halb so groß wie vermutet.
Mathematics Subject Classification ID: 11J81
Mathematics Subject Classification ID: 14L10
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 11J89
zbMATH DE Number: 1026411
zbMATH Keywords: commutative algebraic groups
zbMATH Keywords: logarithmic dependence
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: logarithms of algebraic numbers
author: Michel Waldschmidt
reviewed by: Peter Bundschuh
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2070130438
cites work: Q3835534
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DOI: 10.1216/RMJM/1181072045
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description: scientific article; zbMATH DE number 1026411