Monge-Ampère equations of geometric origin on certain algebraic varieties
L'auteur étudie sur l'espace projectif complexe de dimension complexe \(m\geq 2\) éclaté en un point ainsi que sur l'espace projectif complexe de dimension 2 éclaté en deux points l'existence de solutions pour l'équation de Monge-Ampère complexe \[ \text{Log det} \bigl(Id +\nabla^j_i \varphi) \bigr)= -\lambda \varphi+f, \] et prouve que cette dernière admet une solution, pour \(\lambda <{m+1 \over 4m}\), en ce qui concerne le premier espace, et pour \(\lambda <{3 \over 8}\), en ce qui concerne le second espace. Pour celà l'auteur applique la méthode de continuité à la famille d'équations \[ \text{Log det} \bigl((Id+ \nabla^j_i \varphi) \bigr)= -t\varphi +f \] sachant qu'en \(t=0\), une solution est donnée par la résolution de la conjecture de Calabi. Il se base sur des travaux dus à T. Aubin, concernant le problème de l'existence de métriques d'Einstein-Kähler sur les variétés kähleriennes à première classe de Chern positive qui ramène le problème à la recherche de l'estimée \(C^0\) des solutions de la famille d'équations. L'auteur met en évidence sur les variétés qu'il considère, des métriques appartement à la première classe de Chern moyennant de longs calculs de déterminants. Certains obstructions dues à Matsushima et Lichnérowicz montrent qu'elles ne peuvent posséder de métriques d'Einstein-Kähler, il est donc impossible de trouver des solutions pour \(\lambda=1\). La méthode utilisée par l'auteur consiste dans un premier temps à étendre l'invariant de G. Tian à une classe de fonctions plus grande que celle des fonctions \(C^\infty\), moyennant un théorème de régularisation des fonctions pluri-sousharmoniques. Puis il minore cet invariant en s'inspirant d'une méthode préconisée par T. Aubin, utilisant la fonction de Green du laplacien. Dans un second temps il établi un théorème sur les variétés kähleriennes et à première classe de Chern positive, donnant en fonction de tout minorant de la constante de Tian, un intervalle de valeurs de \(\lambda\), pour lesquelles l'équation admet une solution. Enfin ce théorème lui permet dans le cadre des variétés qu'il étudie d'établir les résultats énoncés. Ces résultats ont certainement une incidence sur l'estimation du tenseur de Ricci en fonction des métriques correspondantes.
scientific article; zbMATH DE number 1078493