Partial flocks of quadratic cones with a point vertex in \(PG(n,q)\), \(n\) odd
Im \(n\)-dimensionalen projektiven Raum \(PG(n,q)\), \(n\geq 3\) über einem Galoisfeld \(GF(q)\) sei ein quadratischer Kegel \({\mathcal K}\) mit der Spitze \(v\) gegeben. Eine partielle Schar \({\mathcal F}\) von \({\mathcal K}\) der Ordnung \(k\) ist eine Menge von \(k\) die Spitze \(v\) nicht enthaltenden Hyperebenen in \(PG(n,q)\), so daß der \((n-2)\)-dimensionale Teilraum, den zwei Hyperebenen aus \({\mathcal F}\) gemeinsam haben, \({\mathcal K}\) in einer nichtsingulären elliptischen Quadrik schneidet. Die Verfasser sind in der Lage, partielle Scharen \({\mathcal F}\) sowie (für ungerades \(q\)) deren Ableitung algebraisch zu beschreiben. Außerdem zeigen sie: Ist \(q\) gerade, so gilt \(k\leq q\); ist \(q\) ungerade, so hat man \(k\leq q^{(n-1)/2}\). Ist \(q\) ungerade, so existiert zu jeder partiellen Schar \({\mathcal F}\) im projektiven Raum \(PG(n+2,q)\) (in den man \(PG(n,q)\) einbettet) ein partielles Ovoid, das die Schnitte der Hyperebenen von \({\mathcal F}\) mit \({\mathcal K}\) enthält. Umgekehrt läßt sich aus jedem solchen partiellen Ovoid eine Schar \({\mathcal F}\) konstruieren. Die Verfasser konstruieren partielle Scharen \({\mathcal F}\) der Ordnung \(q\), so daß die zu ihnen assoziierten sogenannten \(BLT\)-Mengen rationale Normkurven sind und verallgemeinern die von Kantor in \(PG(3,q)\), \(q\) ungerade, konstruierten Scharen [\textit{W. M. Kantor}, Can. J. Math. 34, 1195-1207 (1982; Zbl 0493.51006)]. Die einfachsten partiellen Scharen von \({\mathcal K}\) sind linear; in diesem Fall wird \({\mathcal F}\) von den einen \((n-2)\)-dimensionalen Unterraum \(U\) enthaltenden, die Spitze \(v\) von \({\mathcal K}\) nicht treffenden Hyperebenen gebildet, sobald nur \(U\cap{\mathcal K}\) eine nichtsinguläre elliptische Quadrik ist. Die Verfasser beweisen, daß für die Ordnung \(k\) einer Schar \({\mathcal F}\) man \(k\geq q\) hat, wenn \(q\) ungerade ist und es zwei Hyperebenen \(\pi_i\) und \(\pi_j\) aus \({\mathcal F}\) gibt, so daß die Hyperebenen von \({\mathcal F}\) die Punkte von \({\mathcal K}\setminus{\mathfrak G}\) überdecken, wobei \({\mathfrak G}\) diejenigen Punkte von \({\mathcal K}\) sind, die auf Verbindungsgeraden von \(v\) mit Punkten aus \(\pi_i\cap\pi_j\cap{\mathcal K}\) liegen. Gilt in diesem Fall \(k=q\), so ist \({\mathcal F}\) linear.
scientific article; zbMATH DE number 1078614
scientific article