Geometry of subanalytic and semialgebraic sets
type: Item
instance of: scholarly article
title: Geometry of subanalytic and semialgebraic sets
zbMATH Open document ID: 0889.32006
author: Masahiro Shiota
published in: Progress in Mathematics
publication date: 1997-10-30T00:00:00Z
review text: Nach einem einleitenden Kapitel über Whitney-Stratifikationen, subanalytische und semialgebraische Mengen, \(PL\)-Topologie und Triangulationen wendet sich der Autor ab Kapitel II den sogenannten \({\mathcal X}\)-Mengen zu. Ein System \({\mathcal X}\) von \({\mathcal X}\)-Mengen ist eine Familie von Teilmengen der euklidischen Räume \(\mathbb{R}^n\), welche folgende Axiome erfüllt: (i) Jede algebraische Teilmenge eines \(\mathbb{R}^n\) ist ein Element von \({\mathcal X}\). (ii) Sind \(X_1,X_2\) Elemente von \({\mathcal X}\), dann auch \(X_1\cap X_2\), \(X_1 -X_2\) und \(X_1\times X_2\). (iii) Ist \(X\subset \mathbb{R}^n\) ein Element von \({\mathcal X}\) und \(p: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) eine lineare Abbildung, derart daß \(p\mid \overline X\) eigentlich ist, so ist auch \(p(X)\) ein Element von \({\mathcal X}\). (iv) Ist \(X\subset \mathbb{R}\), \(X\in {\mathcal X}\), so besitzt jeder Punkt \(x\in X\) eine Umgebung in \(X\), welche eine endliche Vereinigung von Punkten und Intervallen ist. Das System \({\mathcal S}\) der subanalytischen Mengen ist ein System von \({\mathcal X}\)-Mengen, das System der semialgebraischen Mengen ist das kleinste System von \({\mathcal X}\)-Mengen. Der Begriff der \({\mathcal X}\)-Menge stellt einen vereinheitlichen Rahmen für das Buch dar. In Kapitel II werden die Grundlagen der Theorie der \({\mathcal X}\)-Mengen entwickelt, wie Triangulation, \({\mathcal X}\)-Mannigfaltigkeiten der Klasse \(C^r\), \({\mathcal X}\)-Trivialität von Abbildungen, Singularitäten. In Kapitel III geht es um die \(PL\)-Homöomorphie kompakter Polyeder \(X,Y\) in \(\mathbb{R}^n\). Ausgangspunkt ist die Vermutung: Existieren streng isomorphe Whitney-Stratifikationen von \(X\) und \(Y\), so sind \(X\) und \(Y\) \(PL\)-homöomorph. Für die Vermutung werden unter Zusatzbedingungen Beweise gegeben. Als Korollar folgt: Sind \(X,Y\) \({\mathcal X}\)-homöomorph, so sind \(X,Y\) \(PL\)-homöomorph. In Kapitel IV ist die Triangulierbarkeit von \({\mathcal X}\)-Abb…
Mathematics Subject Classification ID: 32B20
Mathematics Subject Classification ID: 14P10
Mathematics Subject Classification ID: 14-02
Mathematics Subject Classification ID: 32-02
zbMATH DE Number: 1082024
zbMATH Keywords: subanalytic sets
zbMATH Keywords: semialgebraic sets
reviewed by: H.-J. Reiffen
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 1082024