Tori invariant under an involutorial automorphism. II
type: Item
instance of: scholarly article
title: Tori invariant under an involutorial automorphism. II
zbMATH Open document ID: 0911.20034
published in: Advances in Mathematics
publication date: 1999-05-05T00:00:00Z
review text: [For part I see ibid. 85, No. 1, 1-38 (1991; Zbl 0731.20029).] Sei \(G\) eine zusammenhängende reduktive lineare algebraische Gruppe über einem Körper \(k\) einer Charakteristik \(\neq 2\), \(\beta\) eine Involution von \(G\) definiert über \(k\) und \(G_\beta\) die Fixpunktmenge von \(\beta\), \(H\) eine \(k\)-offene Untergruppe davon. Bezeichne weiter \(G_k\) (bzw. \(H_k\)) die Menge der \(k\)-rationalen Punkte von \(G\) (bzw. \(H\)). \(G/H\) heißt eine symmetrische Varietät, \(G_k/H_k\) symmetrische \(k\)-Varietät. Die Geometrie der Bahnen einer minimalen parabolischen \(k\)-Untergruppe \(P\) von \(G\) auf einer solchen symmetrischen \(k\)-Varietät ist nun von fundamentaler Bedeutung, insbesondere in der Darstellungstheorie solcher Varietäten. Diese Bahnen lassen sich durch die \(H_k\)-Konjugationsklassen von \(\beta\)-stabilen maximalen \(k\)-spaltenden Tori charakterisieren. Der Autor nimmt in einer Serie von Arbeiten diese Charakterisierung und Klassifizierung für verschiedene Grundkörper \(k\) vor. In der vorliegenden zweiten Untersuchung wird gezeigt, daß man das Klassifikationsproblem auf zwei Teilprobleme reduzieren kann -- eines davon ist eine Klassifikation der entsprechenden \(H\)-Konjugationsklassen. Der Autor gibt eine Charakterisierung dieser Klassen und eine partielle Klassifikation für die Fälle, daß der Grundkörper \(k=\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}_k\), ein endlicher Körper oder ein Zahlkörper ist.
Mathematics Subject Classification ID: 20G15
Mathematics Subject Classification ID: 14L30
Mathematics Subject Classification ID: 17B20
Mathematics Subject Classification ID: 14M17
zbMATH DE Number: 1082944
zbMATH Keywords: reductive linear algebraic gruops
zbMATH Keywords: involutions
zbMATH Keywords: rational points
zbMATH Keywords: symmetric varieties
zbMATH Keywords: orbits
zbMATH Keywords: minimal parabolic subgroups
zbMATH Keywords: conjugacy classes of maximal tori
author: Aloysius G. Helminck
reviewed by: Heinrich Reitberger
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: aima.1997.1633
OpenAlex ID: W4213142713
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description: scientific article; zbMATH DE number 1082944