Kazhdan's property T and the geometry of the collection of invariant measures
Für abzählbare Gruppen \(G\) und kompakte metrisierbare \(G\)-Räume studieren die Autoren den Simplex \(M_G(X)\) der \(G\)-invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße auf \(X\). Ein Prototyp, bis zu einem gewissen Grade ein universelles Modell eines solchen Raumes \(X\), ist der Raum \(\Omega=\{0,1\}^G\) aller Teilmengen von \(G\) mit der Translation als Wirkung. Es zeigt sich, dass man die Kazhdansche Eigenschaft \((T)\) von \(G\) in dem folgenden Sinne in Eigenschaften der \(M_G(X)\) wiederfindet: Hat \(G\) die Eigenschaft \((T)\), so ist \(M_G(X)\) stets ein sogenannter Bauerscher Simplex, d.h. die Menge der ergodischen \(G\)-invarianten Maße (die man als Extremalpunkte von \(M_G(X)\) interpretieren kann) ist abgeschlossen; speziell gilt dies für \(X=\Omega\). Besitzt \(G\) hingegen nicht die Eigenschaft \((T)\), so ist \(M_G(\Omega)\) gewissermaßen das Gegenteil eines Bauerschen, nämlich ein Poulsenscher Komplex, d.h. die Menge der ergodischen \(G\)-invarianten Maße liegt dicht in \(M_G(\Omega)\). (Nach Lindenstrauss, Olsen, Sternfeld gibt es im wesentlichen nur einen Simplex derart, dass die Menge der Extremalpunkte dicht liegt.) In einem zweiten Abschnitt beweisen die Autoren entsprechende Aussagen für lokalkompakte Gruppen \(G\), welche dem 2. Abzählbarkeitsaxiom genügen. Den Part von \(\Omega\) übernimmt der Raum \(\sum\) aller abgeschlossenen Teilmengen \(S\) der Einpunktkompaktifizierung \(G_\infty\) von \(G\) mit \(\infty\in S\). Im diskreten Fall lässt sich \(\sum\) natürlich mit \(\Omega\) identifizieren und überhaupt ist der erste Abschnitt sozusagen eine Teilmenge des zweiten. Es hilft jedoch dem Verständnis, erst einmal die Behandlung des diskreten Falles zu sehen. Längen werden dadurch vermieden, dass die Autoren Aussagen im allgemeineren Falle dann nicht noch einmal beweisen, wenn die Beweise im Spezialfall sich ohne weiteres übertragen lassen.
scientific article; zbMATH DE number 1123714