Kazhdan's property T and the geometry of the collection of invariant measures
type: Item
instance of: scholarly article
title: Kazhdan's property T and the geometry of the collection of invariant measures
zbMATH Open document ID: 0899.22006
published in: Geometric and Functional Analysis. GAFA
publication date: 1998-03-31T00:00:00Z
review text: Für abzählbare Gruppen \(G\) und kompakte metrisierbare \(G\)-Räume studieren die Autoren den Simplex \(M_G(X)\) der \(G\)-invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße auf \(X\). Ein Prototyp, bis zu einem gewissen Grade ein universelles Modell eines solchen Raumes \(X\), ist der Raum \(\Omega=\{0,1\}^G\) aller Teilmengen von \(G\) mit der Translation als Wirkung. Es zeigt sich, dass man die Kazhdansche Eigenschaft \((T)\) von \(G\) in dem folgenden Sinne in Eigenschaften der \(M_G(X)\) wiederfindet: Hat \(G\) die Eigenschaft \((T)\), so ist \(M_G(X)\) stets ein sogenannter Bauerscher Simplex, d.h. die Menge der ergodischen \(G\)-invarianten Maße (die man als Extremalpunkte von \(M_G(X)\) interpretieren kann) ist abgeschlossen; speziell gilt dies für \(X=\Omega\). Besitzt \(G\) hingegen nicht die Eigenschaft \((T)\), so ist \(M_G(\Omega)\) gewissermaßen das Gegenteil eines Bauerschen, nämlich ein Poulsenscher Komplex, d.h. die Menge der ergodischen \(G\)-invarianten Maße liegt dicht in \(M_G(\Omega)\). (Nach Lindenstrauss, Olsen, Sternfeld gibt es im wesentlichen nur einen Simplex derart, dass die Menge der Extremalpunkte dicht liegt.) In einem zweiten Abschnitt beweisen die Autoren entsprechende Aussagen für lokalkompakte Gruppen \(G\), welche dem 2. Abzählbarkeitsaxiom genügen. Den Part von \(\Omega\) übernimmt der Raum \(\sum\) aller abgeschlossenen Teilmengen \(S\) der Einpunktkompaktifizierung \(G_\infty\) von \(G\) mit \(\infty\in S\). Im diskreten Fall lässt sich \(\sum\) natürlich mit \(\Omega\) identifizieren und überhaupt ist der erste Abschnitt sozusagen eine Teilmenge des zweiten. Es hilft jedoch dem Verständnis, erst einmal die Behandlung des diskreten Falles zu sehen. Längen werden dadurch vermieden, dass die Autoren Aussagen im allgemeineren Falle dann nicht noch einmal beweisen, wenn die Beweise im Spezialfall sich ohne weiteres übertragen lassen.
Mathematics Subject Classification ID: 22D40
Mathematics Subject Classification ID: 22D10
zbMATH DE Number: 1123714
zbMATH Keywords: locally compact groups
zbMATH Keywords: compact \(G\)--spaces
zbMATH Keywords: invariant probability measures
zbMATH Keywords: ergodic measures
zbMATH Keywords: Bauer and Poulsen simplex
zbMATH Keywords: Kazhdan's property \((T)\)
zbMATH Keywords: almost invariant vectors
zbMATH Keywords: weak mixing
zbMATH Keywords: Gaussian processes
author: Eli Glasner
author: Benjamin Weiss
reviewed by: D. Poguntke
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s000390050030
OpenAlex ID: W2078444023
DOI: 10.1007/S000390050030
description: scientific article; zbMATH DE number 1123714