Invariant smoothness measures for surfaces
In der Flächentheorie des euklidischen 3-Raumes betrachten die Autoren in jedem Flächenpunkt \(P\) die Normalkrümmungen \(\kappa_n\) der durch \(P\) laufenden Flächenkurven und legen deren Richtung in \(P\) durch einen in der Tangentialebene gemessenen Winkel \(\theta\) (nach der Formel von Euler) oder einen Winkel \(\theta_d\) (gegen eine Bezugsrichtung \(d\)) fest. Die zentrale Idee der Arbeit besteht nun darin, einer Fläche \(\theta\) in ihren Punkten \(P\) zwei parameterinvariante Maße \(\lambda\) und \(\Lambda\) zuzuordnen, die nicht allein die Hauptrichtungen und die zughörigen Hauptkrümmungen von \(\Phi\) in \(P\) berücksichtigen (wie etwa im Fall der Gauss-Krümmung), bei denen vielmehr alle Flächenrichtungen in \(P\) mit den zugehörigen Normalkrümmungen \(\kappa_n\) (bzw. ihren Ableitungen \(\kappa_n'\) nach der Bogenlänge der Flächenkurven) Berücksichtigung finden. Die neu eingeführten Maße sind unter Verwendung Gaußscher Flächenparameter \(u\), \(v\): \[ \lambda(u,v):= \Biggl({1\over\pi} \int^\pi_0 \kappa_n(\theta)^2 d\theta\Biggr)^{{1\over 2}},\quad \Lambda(u,v):= \Biggl({1\over \pi} \int^\pi_0 \kappa_n'(\theta_d)^2 d\theta_d\Biggr)^{{1\over 2}}. \] Im Hinblick darauf, daß diese Maße in der Flächenmodellierung zur Qualitätsbeurteilung von Flächen dienen können, wird \(\lambda(u, v)\) als Glattheit 2. Ordnung und \(\Lambda(u, v)\) als Glattheit 3. Ordnung bezeichnet. Der Einfluß der 3. Differentiationsordnung auf \(\Lambda(u,v)\) wird ausführlich diskutiert und für \(\kappa_n'(\theta_d)\) wird eine Formel vom Euler-Typ hergeleitet. Ein Weg zur Berechnung der Extremwerte von \(\kappa_n'(\theta_d)\) wird angegeben. Abschließend werden \(\lambda\) und \(\Lambda\) mit in der Literatur vorhandenen Maßen verglichen. Die Einführung von Gewichtsfunktionen \(w(\theta, u,v)\) im Rahmen der Flächenmodellierung (Ersetzung von \(\kappa^2_n\) durch \(w\kappa^2_n\) in \(\lambda\), von \(\kappa^{\prime 2}_n\) durch \(w\kappa^{\prime 2}_n\) in \(\Lambda\)) wird kurz andiskutiert.
scientific article; zbMATH DE number 1129538