Invariant smoothness measures for surfaces
type: Item
instance of: scholarly article
title: Invariant smoothness measures for surfaces
zbMATH Open document ID: 0896.53008
DOI: 10.1023/A:1018931910836
author: Even Mehlum
author: Christian Tarrou
published in: Advances in Computational Mathematics
publication date: 1998-10-06T00:00:00Z
review text: In der Flächentheorie des euklidischen 3-Raumes betrachten die Autoren in jedem Flächenpunkt \(P\) die Normalkrümmungen \(\kappa_n\) der durch \(P\) laufenden Flächenkurven und legen deren Richtung in \(P\) durch einen in der Tangentialebene gemessenen Winkel \(\theta\) (nach der Formel von Euler) oder einen Winkel \(\theta_d\) (gegen eine Bezugsrichtung \(d\)) fest. Die zentrale Idee der Arbeit besteht nun darin, einer Fläche \(\theta\) in ihren Punkten \(P\) zwei parameterinvariante Maße \(\lambda\) und \(\Lambda\) zuzuordnen, die nicht allein die Hauptrichtungen und die zughörigen Hauptkrümmungen von \(\Phi\) in \(P\) berücksichtigen (wie etwa im Fall der Gauss-Krümmung), bei denen vielmehr alle Flächenrichtungen in \(P\) mit den zugehörigen Normalkrümmungen \(\kappa_n\) (bzw. ihren Ableitungen \(\kappa_n'\) nach der Bogenlänge der Flächenkurven) Berücksichtigung finden. Die neu eingeführten Maße sind unter Verwendung Gaußscher Flächenparameter \(u\), \(v\): \[ \lambda(u,v):= \Biggl({1\over\pi} \int^\pi_0 \kappa_n(\theta)^2 d\theta\Biggr)^{{1\over 2}},\quad \Lambda(u,v):= \Biggl({1\over \pi} \int^\pi_0 \kappa_n'(\theta_d)^2 d\theta_d\Biggr)^{{1\over 2}}. \] Im Hinblick darauf, daß diese Maße in der Flächenmodellierung zur Qualitätsbeurteilung von Flächen dienen können, wird \(\lambda(u, v)\) als Glattheit 2. Ordnung und \(\Lambda(u, v)\) als Glattheit 3. Ordnung bezeichnet. Der Einfluß der 3. Differentiationsordnung auf \(\Lambda(u,v)\) wird ausführlich diskutiert und für \(\kappa_n'(\theta_d)\) wird eine Formel vom Euler-Typ hergeleitet. Ein Weg zur Berechnung der Extremwerte von \(\kappa_n'(\theta_d)\) wird angegeben. Abschließend werden \(\lambda\) und \(\Lambda\) mit in der Literatur vorhandenen Maßen verglichen. Die Einführung von Gewichtsfunktionen \(w(\theta, u,v)\) im Rahmen der Flächenmodellierung (Ersetzung von \(\kappa^2_n\) durch \(w\kappa^2_n\) in \(\lambda\), von \(\kappa^{\prime 2}_n\) durch \(w\kappa^{\prime 2}_n\) in \(\Lambda\)) wird kurz andisk…
Mathematics Subject Classification ID: 53A05
Mathematics Subject Classification ID: 65D17
zbMATH DE Number: 1129538
zbMATH Keywords: normal curvature of a surface
zbMATH Keywords: functionals on surfaces
zbMATH Keywords: Euler-type formulas in surface theory
zbMATH Keywords: surface modeling
reviewed by: Oswald Giering
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: a:1018931910836
OpenAlex ID: W278791975
description: scientific article; zbMATH DE number 1129538