Actions of almost simple Lie groups and positivity of the \(p\)-curvature
La \(p\)-courbure \(S_p\) \((0\leq p\leq n-2)\) d'une variété riemannienne \((M,g_0)\) de dimension \(n\) est definie comme \[ S_p(P)= \sum^n_{j,k=p+1} K_m(e_j,e_k), \] où \(P\) est une \(p\)-plan dans \(T_m(M)\) \((m\in M)\), \((e_{p+1}, \dots,e_n)\) est une base orthonormée de \(P^\perp\) (l'orthogonal à \(P\) dans \(T_mM)\), et \(K\) designe la courbure sectionnelle de \((M,g)\). Soit \(M\) une variété admettant une action \(C^\infty\) d'un groupe de Lie \(G\) compact, et \(b\) une métrique bi-invariante sur \(G\), et la métrique \(g_0\) sur \(M\) est \(G\)-invariante. Soit \(G\times M\) muni de la métrique produit \(b\times g_0\), soit l'action de \(G\) sur \(G\times M\) definie par \(\varphi_{h'} (h,m)= (h'.h,h'.m)\). La projection \(\pi^\varphi: G\times M \to M\) est donnée par \(\pi^\varphi (h,m)= h^{-1}.m\). En chaque orbite \((\pi^\varphi)^{-1} (m)\) on introduit la métrique bi-invariante \(b\), et sur les champs de plans normaux aus orbites, on introduit la variation \(g_t= t^2.g_0\) du relèvement de la métrique \(g_0\). Alors il existe une métrique \(\widetilde g_t\) sur \(M\) pour laquelle la projection \(\pi:G \times M\to M\) est une submersion riemannienne. En utilisant à la fois les formules d'O'Neill pour la courbure d'une submersion riemannienne et la courbure sectionnelle de groupe de Lie pour la métrique bi-invariante, l'auteur de cet article montre que si une variété riemannienne compacte \((M,g)\) admet une action \(C^\infty\) d'un groupe de Lie \(G\) compact, connexe, simple et de rang supérieur ou égal à \(p+1\). Alors pour \(t\) assez petit, la métrique \(\widetilde g_t\) est à \(p\)-courbure positive. C'est une generalisation du théorème de H. B. Lawson et S.-T. Yau.
scientific article; zbMATH DE number 1139497
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