Equisingularity in germ bundles of plane curves and \(C^0\)-sufficiency
type: Item
instance of: scholarly article
title: Equisingularity in germ bundles of plane curves and \(C^0\)-sufficiency
zbMATH Open document ID: 0982.32025
author: Claude Weber
author: Dũng Tráng Lê
published in: L'Enseignement Mathématique. 2e Série
publication date: 2002-04-11T00:00:00Z
review text: De l'introduction: Soient \(f_0\) et \(f_1\) deux germes de fonction holomorphe a l'origine de \(\mathbb{C}^2\). On suppose que les deux germes s'annulent à l'origine et sont à singularité isoleé. Traditionnellement on dit que \(f_0\) et \(f_1\) sont topologiquement équivalents s'il existe un germe d'homeomorphisme \(\Phi: (\mathbb{C}^2,0)\to (\mathbb{C}^2,0)\) de degré +1, tel que l'on ait \(f_0\circ \Phi=f_1.\) On peut démontrer que les deux germes sont topologiquement équivalents si et seulement si les entrelacs orientés qui leur sont associés dans une petite sphère de Milnor sont isotopes\dots Soient maintenant \(h_1= 0\) et \(h_2 = 0\) deux germes de courbes planes s'annulant à l'origine, sans branche commune. La famille de germes de courbes planes \(w_2 h_1-w_1h_2= 0\) avec \(w = (w_1:w_2)\in {\mathbf P}^1\) est par définition le pinceau de germes de courbes planes engendré par \(h_1\) et \(h_2\). Un cas particulier d'un théorème général sur les déformations (dû à O. Zariski) affirme qu'il existe un ouvert de Zariski non vide \(\Omega\subset {\mathbf P^1}\) tel que les elements correspondants du pinceau ont tous la même topologie. L'ouvert maximal ayant cette propriété s'appelle l'ouvert d'équisingularité du pinceau, tandis que son complémentaire est l'ensemble (fini) des valeurs spéciales. Dans la première partie de ce travail, nous énonçons et démontrons un théorème (théorème 4.1) qui caractérise explicitement l'ensemble des valeurs spéciales en fonction de la résolution minimale du pinceau. Nous décrivons la resolution minimale au paragraphe 2 et parlons des valeurs génériques au paragraphe 3. La preuve du théorème (en fait sa partie la plus facile) permet de déterminer explicitement la topologie d'un membre générique du pinceau en fonction de la topologie (colorée) de l'entrelacs associé à \(h_1h_2=0\). Voir la remarque à la fin du \S\ 3. La deuxième partie de ce travail (basée sur la première) est consacrée au degré de \(C^0\)-suffisance d'un germe de cou…
Mathematics Subject Classification ID: 32S15
zbMATH DE Number: 1140134
zbMATH Keywords: equisingularity germ bundles of plane curves
zbMATH Keywords: sufficiency
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 1140134