Recursive properties of Toeplitz and Hurwitz matrices
Es sei \(K\) ein gegebener Körper, und \(\alpha= \sum_{i\in\mathbb{Z}} a_it^i\) mit \(a_i\in K\) sei eine formale beiderseits unendliche Reihe. Sie heißt Laurent-Reihe (Laurent-Polynom) wenn \(a_i= 0\) für \(i< k\) mit einem \(k\in\mathbb{Z}\) (\(a_i\neq 0\) für nur endlich viele \(i\)) gilt. Die Menge \(L^+\) aller Laurent-Reihen über \(K\) ist ein Körper, in dem für \(\alpha,\beta\in L^+\) mit \(\text{grad }\beta> 0\) außerdem \(\alpha\circ \beta= \alpha(\beta)\) definiert ist. Für eine unendliche Matrix \(A= (a_{i,j})\) mit \(i,j\in\mathbb{Z}\), \(a_{i,j}\in K\) sei \(A(i)= \sum_j a_{i,j}t^j\). Gilt \(\alpha,\beta\in L^+\), so heißt \(A\) eine \((\alpha,\beta)\)-rekursive Matrix, wenn \(A(i)= \alpha^i\beta\) für alle \(i\) gilt. Es wird dann \(A\) mit \(R(\alpha, \beta)\) bezeichnet. Speziell ist \(R(t,\alpha)\) eine Toeplitz-Matrix \((c_{i,j})\) mit \(c_{i,j}= a_{j- 1}\) und \(R(t^k,\alpha)\) eine Hurwitz-Matrix \((h_{i,j})\) der Schrittweite \(k\) mit \(h_{i,j}= a_{j- ki}\). Für von 0 verschiedene \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\in L^+\) mit \(\text{grad }\gamma>0\) gilt die Produktregel \(R(\alpha,\beta)\times R(\gamma,\delta)= R(\alpha\circ\gamma, (\beta\circ\gamma)\delta)\), aus der Aussagen über Toeplitz- und Hurwitz-Matrizen abgeleitet werden. Außerdem gilt \(R(\alpha,\beta)= R(\alpha,1)\times R(t,\beta)\). Es folgen zwei Abschnitte über spezielle rekursive Operatoren und bei Verwendung von Laurent-Polynomen über rekursive Band-Matrizen. Abschließend wird auf Anwendungen in der Wavelet-Theorie eingegangen.
scientific article; zbMATH DE number 1154667
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