A geometrical picture book
Bücher, die sich normalerweise mit axiomatisch definierten Geometrien befassen, verharren entweder auf einem Abstraktionsniveau, welches die besprochenen Inzidenzstrukturen als Kopfgeburten präsentiert oder es werden in ihnen unentwegt und mit Ausdauer die klassischen Objekte, deren inzidenztheoretischen Eigenschaften Anlaß zur axiomatischen Festlegung der sie enthaltenden Klasse von Inzidenzgeometrien gewesen sind, mittels anderer Eigenschaften (Homogenität) und anderer Disziplinen (Zahlentheorie, Topologie, Algebraische Geometrie) charakterisiert. Die Neigungen und die wissenschaftlichen Ziele des Verfassers, der ein prominenter Vertreter der Inzidenzgeometrie ist, gingen und gehen in eine andere Richtung: Sein wissenschaftliches Werk ist der Konstruktion vieler neuer Inzidenzgeometrien gewidmet, deren Realitätsgehalt nicht geleugnet werden kann und die neben die klassischen Objekte gleichberechtigt hinzutreten. Das vorliegende Buch ist die Zuspitzung dieses Realitätsbezugs, den der Verfasser hartnäckig verfolgt. Inzidenzgeometrien soll man nicht nur als Rohstoff für mathematische Sätze betrachten, sondern man soll sie körperlich erfahren, fühlen, sie als ästhetische Objekte genießen, sich an ihnen vergnügen, sie basteln und mit ihnen durchaus naiv spielen. Der erste Teil des Buches ist endlichen Inzidenzgeometrien gewidmet. Ausgehend von der kleinsten projektiven Ebene mit 7 Punkten und ihren verschiedenen Modellen, werden anschaulich Automorphismen, Polaritäten, Ovale, Blocking sets, Differenzmengen, Blockpläne und Steinersche Tripelsysteme erörtert und illustriert. Im dritten Abschnitt wird einem die Ästhetik der Konfigurationen vor Augen geführt, der vierte Abschnitt strotzt vor Modellen verallgemeinerter Vierecke und im fünften Abschnitt werden die verschiedenen Darstellungsformen des kleinsten dreidimensionalen projektiven Raums gesammelt. In den Abschnitten 6 und 7 leben projektive Ebenen der Ordnung 3, 4 und 5 bildlich auf. Die Figur auf Seite 133 im Abschnitt 8 zeigt, zu welcher Schönheit an Symmetrie das Sterneanstarren in der projektiven Ebene der Ordnung 8 führen kann. Die Abschnitte 10 und 11 zeigen, daß Bi-Ebenen und Semi-Bi-Ebenen der Ordnung 2, 3 und 4 keine Exoten sind, sondern sich mit Händen greifen lassen. Im Abschnitt 12 werden die minimalen Möbius-, Laguerre- und Minkowskiebenen vorgestellt, im Abschnitt 13 die kleinsten Hexagone und Dodekagone graphisch traktiert und ausgeleuchtet. Im Abschnitt 14 zeigt der Verfasser, wie mit Farben ausgemalte Bilder von Konfigurationen und Inzidenzstrukturen zu höherem ästhetischem Genuß führen und im letzten Abschnitt des ersten Teils erfährt man, wie Inzidenzstrukturen Grundlage verschiedener Spiele sind. Der zweite Teil des Buches stellt topologische Geometrien vor, die auf Flächen leben. Im 16. Abschnitt wird man dazu ermuntert, sich zu überzeugen, daß viele nichtdesarguessche Ebenen genauso anfaßbar sind wie das klassische Modell. Im 17. Abschnitt wird eine Übersicht über Geometrien gegeben, deren Punktmenge eine Fläche ist, deren Geraden Kurven sind und Kreise heißen und in denen mit \(n\) nichtparallelen Punkten genau ein Kreis inzidiert. Die ebenen projektiven Ebenen werden im Abschnitt 18 besprochen und gezeichnet. Die letzten drei Abschnitte sind den Kreisgeometrien auf der 2-Sphäre, dem Zylinder und dem Torus gewidmet. Die Miquelsche Konfiguration und der Büschelsatz werden liebevoll behandelt und viele Konstruktionsprinzipien für nichtklassische Modelle von Möbius-, Laguerre- und Minkowskiebenen dem Leser nahegelegt. Das Buch von Herrn Polster ist ein Geometriebuch ganz anderer Art, als man es sich gemeinhin vorstellt. Es stellt die Inzidenzstrukturen als sinnerfahrbare Objekte dar; trotzdem kann auch ein die Forschung treibender Geometer oder ein Mathematikstudent aus ihm viel Abstraktes lernen. Für mich ist der Text ein nicht zu schlagendes Beispiel, wie Sinnhaftigkeit und Abstraktes auch in der Mathematik dialektisch miteinander verwoben sind. Persönlich bin ich vom Polsterschen Buch sehr angetan, ich finde es sogar entspannend, ab und zu hineinzugucken. Nur eines hat mich betrübt; ich war nicht in der Lage, an Hand von Polsterschen Anleitungen stereographische Bilder wirklich räumlich sehen zu lernen.
scientific article; zbMATH DE number 1179502