On the mean square of Lerch zeta-functions
Für \(0<\alpha\leq 1\), \(\lambda\in {\mathbb R}\) ist die Lerchsche Zetafunktion als Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zetafunktion \(\zeta (s,\alpha)\) durch \[ L(\lambda,\alpha,s)= \sum_{n=0}^{\infty} {\exp(2\pi i\lambda n)\over {(n+\alpha)^s}} \quad (\text{Re}(s)>1) \] definiert und besitzt eine analytische Fortsetzung in ganz \({\mathbb C}\) bis auf höchstens einen einfachen Pol bei \(s=1\). Aus der bekannten Funktionalgleichung dieser Funktion haben die Verff. eine approximative Funktionalgleichung abgeleitet [An approximate functional equation for the Lerch zeta-function, Math. Notes 74, 469--476 (2003); translation from Mat. Zametki 74, 494--501 (2003)] und beweisen damit für \(0<\lambda ,\alpha \leq 1\), \(T \to \infty\) \[ \int _1^T| L(\lambda,\alpha, \tfrac12+it)| ^2\,dt=T\log T + T(c(\alpha)+c(\lambda)-1-\log {2\pi})+ O(T^{1\over 2}\log T) \] mit \({c(a):=\lim_{M \to \infty}(\sum_{n=0}^{M}(n+a)^{-1} - \log M)} \quad (0<a\leq 1)\) und für \({1\over 2}<\sigma<1 \) \[ \int _1^T | L(\lambda,\alpha,\sigma +it| ^2 \,dt = \zeta (2\sigma,\alpha)T + {(2\pi)^{2\sigma -1}\over {2-2\sigma}}\zeta (2-2\sigma,\lambda)T^{2-2\sigma} +O(T^{1-\sigma} \log T + T^{\sigma\over 2}). \] Diese Abschätzungen erweitern ein entsprechendes Ergebnis von \textit{V. V. Rane} [J. Lond. Math. Soc.(2) 21, 203--215 (1980; Zbl 0422.10032)], der nur den Fall \(\sigma ={1\over 2}\) mit gleichem Fehlerterm behandelt hat, und verbessern die Asymptotiken von \textit{D. Klusch} [Arch. Math. 49, 38--43 (1987; Zbl 0636.10034)] und Ergebnisse von \textit{A. Laurinčikas} [On the mean square of the Lerch zeta-function. Fiz. Mat. Fak. Moksl. Darb. 3, 62--67 (1999)] .
scientific article; zbMATH DE number 1947300