Continuous fractions and reduced algebraic formal power series
Soient \(\mathbb{F}_q\) le corps fini à \(q'\) éléments et \(\mathbb{F}_q((x^{-1}))\) le corps des séries formelles à coefficients dans \(\mathbb{F}_q\). Pour \(f= \sum^\infty_{n:n_0} f_n x^{-n}\in \mathbb{F}_q((x^{-1}))\), avec \(n_0\in\mathbb{Z}\), on appelle partie entière de \(f\) et on note \([f]= f_0+ f_{-1}x+\cdots+ f_{n_0} x^{-n_0}\) si \(n_0\leq 0\) et \([f]= 0\) sinon. On appelle partie fractionnaire de \(f\) et on note \(\{f\}= f-[f]\). Un polynôme \(H\in\mathbb{F}_q[x][y]\) est dit réduit s'il s'écrit sous la forme \[ H(y)= A_m y^m+ A_{m-1} y^{m-1}+\cdots+ A_0, \] avec \(A_i\in\mathbb{F}_q[x]\) et \(\deg A_{n-1}> \deg A_i\) pour tout \(i\neq m-1\). Une série formelle \(f\in\mathbb{F}_q((x^{-1}))\) est dite réduite si elle est racine d'un polynôme réduit et irréductible dans \(\mathbb{F}_q[x][y]\) et si \([f]\neq 0\). L'auteur montre: Théorème 1: Tout polynôme réduit \(H\) dans \(\mathbb{F}_q[x][y]\) admet une racine \(f\in\mathbb{F}_q((x^{-1}))\) dont la partie polynomiale est non nulle. De plus si \(H= A_m y^m+ A_{m-1} y^{m-1}+\cdots+ A_s\) et irréductible, alors \(f\) est l'unique racine réduite vérifiant \([f]= -[{A_{m-1}\over A_m}]\) et \(\{f\}^{-1}\) est aussi une série formelle réduite et de mème degré que \(f\).
scientific article; zbMATH DE number 1975347