Ruled surfaces of rectilinear congruences with the same spherical image
Im Euklidischen Raum \(\mathbb{R}^3\) sei ein eineindeutig sphärisch abbildbares Strahlensystem \(S\) der Klasse \(C^4\) über einem einfach zusammenhängenden Gebiet \(G\) der \((u,v)\)-Ebene durch seine Mittenfläche \(P(u,v)\) und den normierten Richtungsvektor \(e(u,v)\) der Geraden von \(S\) gegeben. Für ein begleitendes orthonormiertes Dreibein \(e_i(u,v)\) \((i=1,2,3)\) von \(S\) gilt dann unter anderem \(de_3= \omega_{31}e_1+ \omega_{32}e_2\). Man betrachtet nun die (als nabelpunktfrei vorausgesetzte) Mittenhüllfläche \(M(u,v)\) von \(S\), die beiden quadratischen Differentialformen \(\text{I}:= (de_3)^2= \omega^2_{31}+ \omega^2_{32}\) und \(\text{III}:= (dP, dM, e_3):= A\omega^2_{31}+ 2B \omega_{31}\omega_{32}+ C\omega^2_{32}\), und hiermit den (in der Arbeit so benannten und bezeichneten) ``Ausdruck'' \(\text{III/I}:= 1/D(u,v)\); III-Hauptflächen heißen dann diejenigen Regelflächen von \(S\), für die \(1/D\) Extremwerte annimmt. Zu einer vorgegebenen Funktion \(D^*(u,v)\) erhält man die durch \(D(u,v)= D^*(u,v)\) definierten \((1/D^*)\)-Regelflächen von \(S\). Betrachtet werden nun drei Strahlensysteme \(S\), \(S_1\), \(S_2\) mit gemeinsamem sphärischem (Erzeugenden-) Bild \(e_3(u,v)\), nämlich zwei verschiedene Strahlensysteme \(S_1\), \(S_2\) mit gemeinsamer (vorgegebener) Mittenhüllfläche \(M(u,v)\), sowie ein Strahlensystem \(S\), dessen Mittenfläche \(P\) aus den Mittenflächen \(P_i\) von \(S_i\) \((i=1,2)\) durch Linearkombination (der Parameterdarstellungen) in der Form \(P= c_1 P_1 +c_2 P_2\) (\(c_1\), \(c_2\) konstant, \(\neq 0\)) hervorgeht. Es werden 6 Sätze bewiesen, welche die Strahlensysteme \(S_1\), \(S_2\) untereinander und mit \(S\) verknüpfen, beispielsweise in der Art: ``Es seien diejenigen Regelflächen von \(S_2\), welche den \((1/D^*)_1\)-Regelflächen von \(S_1\) entsprechen, \((1/D^*)_2\)-Regelflächen. Dann gilt: a) die III-Hauptflächen von \(S_1\) entsprechen denjenigen des Strahlensystems \(S_2\) (Satz 2); b) die entsprechenden Regelflächen von \(S\) sind \((1/D^*)\)-Regelflächen (Satz 5)''.
scientific article; zbMATH DE number 2002278