Courbes gauches de degré 4 tracées sur le tore.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Courbes gauches de degré 4 tracées sur le tore.
zbMATH Open document ID: 55.0378.03
published in: Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse pour les Sciences Mathématiques et les Sciences Physiques. 3ième Série
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/72908
review text: Die Untersuchung der auf einem Torus \(T\), d. i. der durch Rotation eines Raumkreises um irgendeine Achse entstehenden Fläche vierter Ordnung, die den Kugelkreis doppelt enthält, wird hier von allgemeinerem Gesichtspunkt aus vorgenommen. Ist \(R\) der Radius des Meridiankreises, \(a\) der Abstand seines Mittelpunktes von der Achse, so lassen sich die rechtwinkligen homogenen Koordinaten \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\) eines erzeugenden Punktes von \(T\) in drei homogenen Parametern \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) darstellen: \[ \begin{gathered} x_1:x_2:x_3:x_4 =\bigl\{a(\nu^2 + \mu^2) + R (\nu^2 - \mu^2)\bigr\} (\nu^2 \lambda^2) : \bigl\{a (\nu^2 + \mu^2) + R (\nu^2 - \mu^2)\bigr\} 2\nu\lambda \\ {}: 2 R\nu\mu (\nu^2 + \lambda^2) : (\nu^2 + \lambda^2) (\nu^2 + \mu^2). \end{gathered} \] Demgemäß ist \(T\) \((1, 1)\)-deutig auf eine Hilfsebene \(H(\lambda, \mu, \nu)\), abbildbar. Den ebenen Schnitten von \(T\) entspricht ein Gebüsch \(G\) von \(C^4\) mit zwei gemeinsamen Doppelpunkten und vier gemeinsamen einfachen Punkten. Daraufhin werden die Schnitte von \(T\) mit Flächen zweiter Ordnung, insbesondere die \(C_4\) als Schnitte mit Kugeln untersucht. Von diesen \(C_4\) treten beide Arten, die elliptischen und die rationalen auf, die im einzelnen diskutiert werden. Die Abbildung von \(T\) auf \(H\) ließe sich vereinfachen, wenn man vermöge einer quadratischen Transformation, deren drei Fundamentalpunkte in den beiden Doppelpunkten und einem der vier einfachen Punkte der \(C_4\) liegen, das \(C_4\)-Gebüsch \(G\) überführt in ein \(C_3\)-Gebüsch \(G'\) mit fünf Grundpunkten. Damit ist man aber zu der bekannten von \textit{Clebsch} 1868 eingehend untersuchten Abbildung der \(F_4\) mit Doppelkegelschnitt zurückgelangt. Die Abbildung ist später für den metrischen Sonderfall der Zykliden verfolgt worden. Die vorliegende umfangreiche Abhandlung hätte sich wesentlich kürzen lassen, wenn Verf. die wohlbekannten Eigenschaften der \(C_4\) auf den Zykliden einfach für den Fall …
zbMATH DE Number: 2570866
author: Bertrand Gambier
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2329891002
DOI: 10.5802/AFST.355
description: scientific article; zbMATH DE number 2570866