Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz-abgeschlossenen Ringen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz-abgeschlossenen Ringen.
zbMATH Open document ID: 55.0680.02
DOI: 10.1007/BF01454841
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159335
review text: Verf. beschäftigt sich mit Ringen, in denen folgende drei Axiome gelten: I. Der Teilerkettensatz; II. Existenz eines Nichtnullteilers; III. Ganze Abgeschlossenheit im Quotientenring. Zur Formulierung des Resultats sind einige Definitionen nötig: Ideal bedeutet immer ein Nichtnullteilerideal, d. h. ein solches, das nicht aus lauter Nullteilern besteht. Ein ``höheres Primideal'' enthält keine echten Primidealvielfachen außer Nullteileridealen. Ein ``höheres Ideal'' ist durch mindestens ein höheres Primideal teilbar. Ein ``niederes Ideal'' ist durch kein höheres Primideal teilbar. Zwei Ideale \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) heißen äquivalent, wenn die Kongruenzen \[ \mathfrak c_1 \mathfrak a = 0 (\mathfrak b), \quad \mathfrak c_2 \mathfrak b = 0 (\mathfrak a) \] mit niederen Idealen \(\mathfrak c_1\) und \(\mathfrak c_2\) bestehen. Dann gilt: Jedes Ideal ist einem Produkt von Primidealen äquivalent. Die Faktorenzerlegung eines höheren Ideals in höhere Primidealfaktoren ist eindeutig. (Die Äquivalenz kann nicht durch Gleichheit ersetzt werden.) Als Anwendung werden die Primdivisoren in algebraischen Funktionenkörpern behandelt. (Vgl. dazu \textit{E. Noether}, Math. Ann. 96 (1926), 26-61; F. d.M. 52.)
zbMATH DE Number: 2572840
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W3187856847
author: B. L. van der Waerden
description: scientific article; zbMATH DE number 2572840