Abriß einer arithmetischen Theorie der Galoisschen Körper. I, II.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Abriß einer arithmetischen Theorie der Galoisschen Körper. I, II.
zbMATH Open document ID: 55.0697.16
DOI: 10.1007/BF01448870
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1928-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159312
review text: Verf. untersucht bei vorgegebenem relativ \textit{Galois}schem Körper \(K/k\) und Primideal \(\mathfrak P\) in \(K\) die Beschaffenheit der Zerlegungsgruppe und insbesondere der Trägheitsgruppe näher, indem er die Zerlegungsgruppe in eine Kompositionsreihe von der Verzweigungsgruppe an entwickelt und in den zugehörigen Körpern immer die irreduzible Kongruenz für eine erzeugende Größe eines Körpers in der Kette im vorangehenden Körper betrachtet, und zwar nach einer beliebig hoch gewählten Potenz von \(\mathfrak P\). In der ersten Mitteilung wird das zuerst für den 'regulären' Fall, daß \(K\) selbst der Verzweigungskörper ist, durchgeführt. Hier kommt man für eine passend gewählte erzeugende Zahl aus \(K\) auf eine Kongruenz: \(x^e + p\tau^a \equiv O(\mathfrak P)\) im Trägheitskörper, wenn dort \(\tau\) eine Primitivwurzel mod \(\mathfrak P\) ist; es muß \(e | p^f - 1\) und \(e | a (p - 1)\) sein (\(f\) Grad von \(\mathfrak P\)). Die Zerlegungsgruppe hat dann die Gestalt \(\sum Z^iT^j\) wo \(T\) eine erzeugende Substitution der Trägheitsgruppe und \(Z^f = T^a\), \(Z^{-1} TZ = T^p\) ist. -- Für den irregulären Fall \(p | e\) (Ordnung der Trägheitsgruppe) besteht die Kompositionsreihe des Verzweigungskörpers \(K_0 < K_1 < \cdots K_s = K\) aus lauter Relativkörpern vom Grade \(p\), unter die man die höheren Verzweigungskörper aufnehmen kann. Hier erhält man durch Aufstellung der entsprechenden Relativ-Kongruenzen, daß für den Primidealzerfall \(\mathfrak p = \bar\mathfrak p^p\) die Relativdifferente gerade durch \(\bar\mathfrak p^{p-1+\varrho}\) teilbar ist, wo \(1 \leqq \varrho \leqq e'\cdot p\) und \(\mathfrak p^{e'} | p \not\equiv 0(\mathfrak p^{e'+1})\). Für \(\varrho = e'p\) erhält man eine binomische Kongruenz: \(x^p + \pi_0\beta_0 \equiv 0\), wo \(\mathfrak p | \pi_0 \not\equiv 0(\mathfrak p^2)\), für \(\varrho < e'p\) eine trinomische Kongruenz, bei der noch ein Glied \(\pi^{a_r+1}_0\beta_rx^r\), \ \((\beta,\mathfrak p) = \mathfrak o\), hinzukommt, wobei dann \(…
Mathematics Subject Classification ID: 11T99
zbMATH DE Number: 2572910
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W3010868475
author: Øystein Ore
description: scientific article; zbMATH DE number 2572910