Euler-Bernoullische Reihen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Euler-Bernoullische Reihen.
zbMATH Open document ID: 55.0782.02
DOI: 10.1007/BF01187753
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168107
review text: Die Arbeit ist ein verkürzter Abdruck der Frankfurter Habilitationsschrift des Verf. ``\textit{Die \(\dots\) Entwicklungen stellen einen Versuch dar, aus der elementaren Theorie der Bernoullischen Polynome Gewinn zu ziehen für die analytische Theorie der \(\zeta\)-Funktionen, wie sie in der höheren Arithmetik benötigt wird}.'' Verf. betrachtet zunächst die \textit{Bernoulli}schen Polynome im allgemeinen und leitet neben der klassischen linearen Rekursion, auf Grund deren sich die Polynome sofort explicite aufstellen lassen, und der bekannten Differentiationsformel einige nichtlineare Relationen, insbesondere eine Differenzengleichung, her, in denen die \textit{Bernoulli}schen Zahlen, die Absolutglieder der Polynome, als Werte gewisser mit den Polynomen behafteter Integrale dargestellt erscheinen. Dann werden mit \[ \frac {B_\varkappa (x)}{\varkappa!} \cdot \frac {B_\lambda (x)}{\lambda !}\cdot \dots = b_{\varkappa, \lambda, \dots} (x), \] wo \(B_\varkappa (x)\) das \textit{Bernoulli}sche Polynom \(\varkappa\)-ten Grades in \(x\) bezeichnet und die Indices alle nicht negativen ganzen Zahlen durchlaufen, die Integrale \[ c_{{\varkappa_1}, \dots, \varkappa_m } = \int_0^1 b_{{\varkappa_1}, \dots, \varkappa_m }(x)\,dx \] mit positivem ganzen \(m\) und nicht negativem ganzen \({{\varkappa_1}, \dots, \varkappa_m }\) untersucht. Das Ergebnis hat die Form einer aus Rekursionseigenschaften und ``Ergänzungssätzen'' gewonnenen Tabelle und wird unter Benutzung von Hilfsgrößen formuliert, die mit den \(b_\nu (x)\) in engem Zusammenhang stehen. Für das allgemeine Ergebnis können die die Ergänzungssätze erfordernden Fälle mit \[ \varkappa_1 \varkappa_2 \dots \varkappa_\varrho = 0 \] ausgeschlossen werden, und der Wert \(g\) der Indexsumme, insbesondere seine Parität, ist von ausschlaggebender Bedeutung namentlich für das Verschwinden der \(c\)-Werte. Eine vermittels des \textit{Cauchy}schen Satzes gewonnene Darstellung der \(b_\nu (x)\) durch Integrale nach \(y\) auf einem Weg, der…
zbMATH DE Number: 2573101
author: Wilhelm Maier
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2042948841
description: scientific article; zbMATH DE number 2573101