Linear substitutions arising from series of Eisenstein's type.
Es handelt sich um einen der wichtigsten Punkte aus der \textit{Hecke}schen Theorie der \(\wp\)-Teilwerte, nämlich um das Problem, \textit{Eisenstein}reihen \((-2)\)-ter Dimension aufzustellen, welche, als Funktionen von \(\tau\) betrachtet, die Eigenschaften der ganzen Modulformen besitzen. \textit{Hecke} hatte in seiner Arbeit ``Theorie der \textit{Eisenstein}schen Reihen höherer Stufe usw.'' (Abhandlungen Hamburg 5 (1927), 199-224; F. d. M. 53, 345 (JFM 53.0345.*)) die bekannte Konvergenzschwierigkeit dadurch umgangen, daß er die Ausdrücke \[ \sum_{m_i \equiv a_i(N)} \frac{1}{(m_1 \tau + m_2)^2 |m_1 \tau + m_2|^s} \tag{1} \] als Funktionen von \(s\) im Punkte \(s = 0\) untersuchte; er konnte beweisen, daß sie für alle \(s\) mit \(\sigma = \mathfrak R s > -1\) regulär sind, und daß insbesondere der Wert \(G_2(\tau, a_1, a_2, N)\) von jeder dieser Reihen im Punkte \(s = 0\) eine nicht-analytische Funktion von \(\tau\) darstellt, welche die Entwicklung \[ \begin{multlined} G_2(\tau,a_1, a_2, N) = \\ \frac{-2\pi i}{N^2(\tau - \bar\tau)} + \delta\left(\frac{a_1}{N}\right) \sum_{\substack{ m_2 \equiv a_2(N) \\ m_2 \neq 0 }} \frac{1}{m_2^2} \frac{4\pi^2}{N^2} \sum_{\substack{ m m_1 > 0 \\ m_1 \equiv a_1(N) }} |m| \zeta^{a_2 m} e^{2\pi i m m_1 \tfrac{\tau}{N}} \end{multlined} \tag{2} \] gestattet \(\left(\delta (x) =1 \text{ oder 0, je nachdem } x \text{ ganz ist oder nicht, } \zeta = e^{\tfrac{2\pi i}{N}}\right)\). Aus dieser Tatsache folgt sofort das eine Hauptresultat der Theorie, nämlich, daß die Differenz zweier solcher \(G_2(\tau, a_1, a_2, N)\) mit demselben \(N\) eine ganze Modulform \(N\)-ter Stufe von der Dimension \(-2\) ist. Bei dem \textit{Hecke}schen Ansatz besteht die Schwierigkeit in der Aufstellung dieser Entwicklung; die Umsetzungsformeln \[ G_2\left(\frac{a\tau + b}{c\tau + d}, a_1, a_2, N\right) = (c\tau + d)^2 G_2(\tau, a_1 a + a_2 c, \;a_1 b + a_2 d, \;N) \] der \(G_2(\tau, a_1, a_2, N)\) bei Ausübung von Modulsubstitutionen \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) ergeben sich genau so zwanglos wie in den Fällen absoluter Konvergenz, welche bei den obigen Reihen (1) für \(\sigma > 0\) realisiert ist. Wenn man dagegen, wie der Verf. es tut, die \(G_2(\tau, a_1, a_2, N)\) in der Reihendarstellung (2) als gegeben ansieht, so bereitet natürlich gerade der Beweis der Umsetzungsformeln Schwierigkeiten. Offenbar genügt es, die Wirkung der Substitutionen \(\tau + 1\) und \(\dfrac{-1}{\tau}\) zu betrachten. Im ersten Fall ist alles trivial, im letzten geht der Verf. so vor: In die Reihe \[ \varphi_{\lambda, \lambda^\prime}(\tau) = \sum_{\substack{ x\equiv \lambda(N) \\ y \equiv \lambda^\prime(N) \\ x>0, \, y>0 }} x e^{2\pi i\tfrac{xy}{N}\tau} = \sum_{\substack{ x\equiv \lambda(N) \\ x>0 }} \frac{xe^{2\pi i\tfrac{x\lambda^\prime}{N}\tau}}{1 - e^{2\pi i x \tau}} \] werde \(\dfrac{-1}{\tau}\) für \(\tau\) eingetragen und der so auf der rechten Seite entstehende Ausdruck nach der \textit{Poisson}schen Formel umgestaltet. Hierbei erscheinen als Koeffizienten Ausdrücke der Form \[ \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{(mN + \lambda^\prime - n\tau)^2}, \] die sich natürlich nicht elementar auswerten lassen. Dagegen führt die Summe \[ f_{\lambda,\lambda^\prime}\left(\frac{-1}{\tau}\right) = \varphi_{\lambda, \lambda^\prime}\left(\frac{-1}{\tau}\right) + \varphi_{N-\lambda, N-\lambda^\prime}\left(\frac{-1}{\tau}\right) \] statt dessen auf die Reihen \[ \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(mN + \lambda^\prime - n\tau)^2}, \] von denen aus man auf dem Umwege über die Beziehung \[ \frac{\pi^2}{\sin^2 \pi z} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(m - z)^2} = -4\pi^2 \sum_{m=1}^\infty me^{2\pi i m z} \] gerade wieder zu den Potenzreihen des Ausgangstypus zurückgelangt. Da schließlich der Hauptbestandteil der Funktion \(G_2(\tau, a_1, a_2, N)\) in der Darstellung (2), nämlich \[ f(\tau, a_1, a_2, N) = \frac{-4\pi^2}{N^2} \sum_{\substack{ mm_1 > 0 \\ m_1 \equiv a_1(N) }} |m| \zeta^{a_2 m} e^{2\pi i m m_1 \tfrac{\tau}{N}} \] sich aus den endlich vielen \(f_{\lambda, \lambda^\prime}(\tau)\) in der Form \[ f (\tau, a_1, a_2, N) = \frac{-4\pi^2}{N^2} \sum_{\lambda=1}^N e^{2\pi i \tfrac{a_2 \lambda}{N}} f_{\lambda, a_1}(\tau) \] linear zusammensetzen läßt, so ist damit der Gedankengang des Beweises angegeben. \ \ (IV 6 D.)
scientific article; zbMATH DE number 2573173