Linear substitutions arising from series of Eisenstein's type.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Linear substitutions arising from series of Eisenstein's type.
zbMATH Open document ID: 55.0812.02
DOI: 10.1007/BF02941171
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
review text: Es handelt sich um einen der wichtigsten Punkte aus der \textit{Hecke}schen Theorie der \(\wp\)-Teilwerte, nämlich um das Problem, \textit{Eisenstein}reihen \((-2)\)-ter Dimension aufzustellen, welche, als Funktionen von \(\tau\) betrachtet, die Eigenschaften der ganzen Modulformen besitzen. \textit{Hecke} hatte in seiner Arbeit ``Theorie der \textit{Eisenstein}schen Reihen höherer Stufe usw.'' (Abhandlungen Hamburg 5 (1927), 199-224; F. d. M. 53, 345 (JFM 53.0345.*)) die bekannte Konvergenzschwierigkeit dadurch umgangen, daß er die Ausdrücke \[ \sum_{m_i \equiv a_i(N)} \frac{1}{(m_1 \tau + m_2)^2 |m_1 \tau + m_2|^s} \tag{1} \] als Funktionen von \(s\) im Punkte \(s = 0\) untersuchte; er konnte beweisen, daß sie für alle \(s\) mit \(\sigma = \mathfrak R s > -1\) regulär sind, und daß insbesondere der Wert \(G_2(\tau, a_1, a_2, N)\) von jeder dieser Reihen im Punkte \(s = 0\) eine nicht-analytische Funktion von \(\tau\) darstellt, welche die Entwicklung \[ \begin{multlined} G_2(\tau,a_1, a_2, N) = \\ \frac{-2\pi i}{N^2(\tau - \bar\tau)} + \delta\left(\frac{a_1}{N}\right) \sum_{\substack{ m_2 \equiv a_2(N) \\ m_2 \neq 0 }} \frac{1}{m_2^2} \frac{4\pi^2}{N^2} \sum_{\substack{ m m_1 > 0 \\ m_1 \equiv a_1(N) }} |m| \zeta^{a_2 m} e^{2\pi i m m_1 \tfrac{\tau}{N}} \end{multlined} \tag{2} \] gestattet \(\left(\delta (x) =1 \text{ oder 0, je nachdem } x \text{ ganz ist oder nicht, } \zeta = e^{\tfrac{2\pi i}{N}}\right)\). Aus dieser Tatsache folgt sofort das eine Hauptresultat der Theorie, nämlich, daß die Differenz zweier solcher \(G_2(\tau, a_1, a_2, N)\) mit demselben \(N\) eine ganze Modulform \(N\)-ter Stufe von der Dimension \(-2\) ist. Bei dem \textit{Hecke}schen Ansatz besteht die Schwierigkeit in der Aufstellung dieser Entwicklung; die Umsetzungsformeln \[ G_2\left(\frac{a\tau + b}{c\tau + d}, a_1, a_2, N\right) = (c\tau + d)^2 G_2(\tau, a_1 a + a_2 c, \;a_1 b + a_2 d, \;N) \] der \(G_2(\tau, a_1, a_2, N)\) bei Ausübung von Modulsubstitutionen \(\begin{pmatrix} a & b …
zbMATH DE Number: 2573173
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5602289
cites work: Hecke symmetries
cites work: L. J. Mordell
author: Louis J. Mordell
description: scientific article; zbMATH DE number 2573173